Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

70 Geometria differenziale in dimensione infinita
Osservazione C.8. Sia M una varietà modellata su uno spazio vettoriale normato E di dimensione
infinita. Allora M non è compatta. Infatti, se M fosse compatta allora certamente M sarebbe
localmente compatta (cfr. definizione A.3). D’altra parte, per un noto teorema di Riesz si ha che,
in uno spazio vettoriale normato, indicata con B E la palla unitaria chiusa di centro l’origine, se B E
fosse compatta allora E avrebbe dimensione finita. Dunque nel nostro caso le palle chiuse di E (di
centro e raggio qualsiasi) non sono compatte. In particolare da questo segue subito che E non è
localmente compatto. Dunque (una varietà – localmente – ha le stesse proprietà topologiche dello
spazio su cui è modellata) M non è localmente compatta, dunque, in particolare, M siffatta non
può essere compatta.
Definizione C.9. Una sottovarietà di una varietà (M, A) (in cui A denota un atlante massimale
su M, cfr. definizione C.6) modellata su uno spazio di Banach E è un sottoinsieme N ⊂ M tale che
per ogni y ∈ N esiste una carta (U, ϕ) ∈ A con y ∈ U e sottospazi complementari chiusi E1 ed E2
di E per cui
ϕ(U ∩ N) = ϕ(U) ∩ (E1 × {O}). (C.1.1)
Si noti che se {(Ui, ϕi)} è un ricoprimento di N costituito da carte di M aventi la proprietà
(C.1.1), allora {(Ui ∩ N, ϕi|Ui∩N)} è un atlante per N.
Osservazione C.10. Sia M una varietà modellata su un fissato spazio di Banach E. Un sottoinsieme
aperto V di M è una sottovarietà secondo la definizione C.9. In questo caso prenderemo
semplicemente E2 = {O}, e, per ogni x ∈ V , useremo una qualsiasi carta (U, ϕ) di M per cui
x ∈ U.
Definizione C.11. Diremo che un sottospazio vettoriale (chiuso) F di uno spazio di Banach E è
complementabile se esiste un complementare chiuso, se esiste cioè un sottospazio chiuso G ⊂ E tale
che E = F ⊕ G.
Osservazione C.12. Chiaramente, un sottospazio chiuso di uno spazio di Hilbert, oppure un sottospazio
di uno spazio vettoriale di dimensione finita è sempre complementabile.
Definizione C.13. Sia M una varietà di classe C ∞ modellata su uno spazio di Banach E. Sia x
un punto di M. Consideriamo l’insieme delle terne (U, ϕ, v) in cui (U, ϕ) è una carta in x e v è un
elemento dello spazio vettoriale E. Diremo che due tali terne (U, ϕ, v) e (V, ψ, w) sono equivalenti
se il differenziale di ψ ◦ ϕ −1 in ϕ(x) applica v in w:
d(ψ ◦ ϕ −1 ) ϕ(x) (v) = w.
Si tratta ovviamente di una relazione di equivalenza in virtù della regola della catena. Una classe
di equivalenza di tali terne è detta un vettore tangente alla varietà M nel punto x. L’insieme dei
vettori tangenti è detto lo spazio tangente di M in x ed è denotato con TxM.
Ogni carta (U, ϕ) in x induce una bigezione tra TxM ed E, in cui alla classe di equivalenza
(U, ϕ, v) corrisponde il vettore v. Per mezzo di tale bigezione è possibile trasportare a TxM la
struttura di spazio vettoriale topologico data dalla carta, ed è immediato verificare che questa
struttura è indipendente dalla carta scelta (la struttura di spazio di Banach indotta su TxM è unica
a meno di un isomorfismo lineare).
Osservazione C.14. In dimensione infinita si considera sempre sottovarietà il cui spazio tangente
sia chiuso. In particolare, se W è un sottospazio chiuso di dimensione infinita di un dato spazio di
Banach V , lo spazio tangente in ogni punto w di W è W stesso.
Osservazione C.15. Sia (V, ϕ) una carta per M, allora ϕ: V ⊂ M → E è un diffeomorfismo con
l’immagine. Sia x ∈ V fissato, allora lo spazio tangente a V nel punto x, TxV , coincide con lo spazio
tangente a M in x, TxM. Infatti, la mappa TxV → TxM indotta dall’inclusione ι: V ↩→ M è un
isomorfismo di spazi di Banach. Più in generale, se U ⊂ M è un aperto, allora, per ogni x ∈ U,
TxU = TxM.
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