Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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120 Analisi funzionale lineare (h) f(x ) h = t2 he + y(h)h , che è una successione in K. Dunque f(x (h) ) ammette una sottosuc- h cessione f(x (hi) ) i = t2 e + y(hi) hi i convergente a un punto z di K. Segue che esistono1 punti re ed y = (0, y2, y3, . . .) tali che t2 hiei e y (hi) i convergono a re ed y = (0, y2, y3, . . .) rispettivamente, ed inoltre re+y = z ∈ K. In particolare, a meno di passare a una sottosuccessione segue che thie i converge a un certo te (tale che t2 = r). L’elemento te + y ∈ X è invero un elemento di f −1 (K), infatti f te + y = t2e + y = re + y = z ∈ K, inoltre lim i→∞ x(hi) = lim thie + y i→∞ (hi) = te + y. Verifichiamo che f è Fredholm di indice zero. Per questo scopo occorre calcolare il differenziale di Fréchèt df x0 di f in x0 = a e + b, dove b = (0, b2, b3, . . .), con a, b2, b3, . . . ∈ R. Se x = (x1, x2, . . .) si ha df x0 (x) = (2a x1, x2, x3, . . .) di modo che: se a a = 0 allora df x0 è un isomorfismo, la mappa inversa essendo (yj) j≥1 ↦→ (y1/(2a), y2, y3, . . .); se a = 0, dfx0 ha come nucleo R e (dimensione 1) e come immagine lo spazio dei vettori con prima coordinata nulla, supplementare di R e e quindi di codimensione 1. Osservazione G.32. La proposizione G.31 si generalizza a spazi del tipo X = R × V , con V spazio di Banach, prendendo f(t, v) = (t 2 , v). Osservazione G.33. Chiaramente il risultato espresso dalla proposizione precedente continua ad essere vero quando in luogo dello spazio di Banach X dotato di una base di Schauder si consideri uno spazio di Hilbert separabile. 1 Siccome f x (hi) i è convergente, essa è di Cauchy, i.e., t2 h e + y i (hi) − t2 e − y hj (hj ) i,j→∞ −−−−−→ 0. Segue che 2 t2 hi i e y (hi) sono di Cauchy, da cui, per la completezza di R e X, esse sono convergenti. i IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
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Università degli Studi di Pisa Fac
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Prefazione L’obiettivo principale
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S 1 , che certamente non ammette un
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Notazioni Notazioni di uso corrente
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Capitolo 2 Embedding aperti di vari
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2.1 Introduzione 21 (v) se F = {O}
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2.1 Introduzione 23 applicazione ξ
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