Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

110 Spray
Calcoliamo (T h) ′ (x, v):
(T h) ′ (x, v) =
∂h(x)
∂x
∂h ′ (x)(v)
∂x
∂h(x)
∂v
∂h ′ (x)(v)
∂v
′ h (x) 0
=
h ′′ (x)(v) h ′ (x)
e quindi (T h) ′
′ h (x) 0
(x, v)(u, w) =
h ′′ (x)(v) h ′
u
=
(x) w
h ′ (x)(u), h ′′ (x)(v, u)+h ′ (x)(w) ,
per cui, in definitiva, sostituendo in (F.3.5) si ottiene
T T h (x, v), (u, w) = h(x), h ′ (x)(v), h ′ (x)(u), h ′′ (x)(v, u) + h ′ (x)(w) . (F.3.6)
Le rappresentazioni locali s U e s V dello spray sono legate dalla formula F.3.7 seguente (si consideri
il seguente circuito commutativo dedotto dal diagramma precedente)
(U × E) × (E × E)
Id U×E ×s U
U × E
(T h) ′
T h=(h,h ′ )
E ×
E
s V
V × E
′ ′ ′
sV T h(x, v) = sV h(x), h (x)(v) = h (x)(v), sV,2 h(x), h (x)(v)
= (T h) ′ x, v; sU (x, v) = (T h) ′ x, v; v, sU,2(x, v)
= h ′ (x)(v), h ′′ (x)(v, v) + h ′ (x) ◦ s U,2(x, v) , (F.3.7)
da cui si deduce la formula di cambiamento di variabile per la parte quadratica di uno spray:
′ ′′ ′
sV,2 h(x), h (x)(v) = h (x)(v, v) + h (x) ◦ sU,2(x, v) (F.3.8)
In particolare, dalla formula F.3.8 di cambiamento di variabile per la parte principale di uno spray,
si ottiene la corrispondente legge di trasformazione per il simbolo di Christoffel:
′ ′ ′′ ′
ΓV h(x); h (x)(v), h (x)(w) = −h (x)(v, w) + h (x) ΓU (x; v, w).
Si noti che Γ non trasforma come un tensore.
Alcune proprietà più fini riguardanti gli spray sono state introdotte nella sottosezione 2.1.3.
F.4 La mappa esponenziale di uno spray
La condizione SPR 1 che abbiamo considerato per definire uno spray è equivalente ad altre
riguardanti le curve integrali dei campi vettoriali del second’ordine F . Elencheremo nel seguito
queste condizioni.
Se v è un vettore in T M, denoteremo con σv l’unica curva integrale di F con condizione iniziale
v (i.e. tale che σv(0) = v):
F (σv) = σ ′ v
σv(0) = v.
Proposizione F.10. Per ogni v in T M la condizione espressa da SPR 1 è equivalente ad una
qualunque delle seguenti:
SPR 2. La curva σrv è definita in t se e solo se rt appartiene al dominio di σv ed in tal caso
σrv(t) = rσv(rt).
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