Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

34 Embedding aperti di varietà di dimensione infinita
particolare è continua. Infine, per la proposizione C.29 pag. 73, Mn è una sottovarietà di M tale
che dim Mn = ind (f) + dim Hn = 0 + n = n.
Posta come nell’osservazione 2.35 f n := π n ◦ f, poiché f è trasversa a Hn segue che O è un
valore regolare per fn, dunque, per ogni x in Mn, per il teorema C.27
ker(π n ◦ dfx) = ker d(π n th −1
) f(x) ◦ dfx = ker d(fn) x = Tx fn (O) = TxMn,
in cui l’ultima uguaglianza è vera essendo
f −1
n (O) := (π n ◦ f) −1 (O) = f −1 ◦ (π n ) −1 (O) = f −1 (Hn) =: Mn.
Inoltre, π n applica dfx(TxM) su H/Hn, infatti f ⋔ Hn, dunque, essendo x in Mn, risulta che
dfx(TxM) + Hn = H e quindi dfx(TxM) ⊃ H n . Il teorema di omomorfismo fornisce quindi un
isomorfismo tra TxM/TxMn e H/Hn, isomorfismo che rende commutativo il seguente diagramma:
TxM dfx
TxM
TxMn
H
πn
Verifichiamo che M∞ :=
n∈N Mn è un denso di M. Innanzitutto ricordiamo che, essendo
l’unione
n∈N Hn densa in H, se F è un sottospazio chiuso di H di codimensione finita, in virtù
del lemma 2.8 esiste n0 tale che n ≥ n0 ⇒ Hn + F = H. Sia x in M ed U ⊂ M un intorno aperto
di x. Proveremo che U ∩ Mn = ∅ purché n sia grande abbastanza, da cui seguirà certamente la
tesi. Per il teorema di rappresentazione locale [Ab-Ro 67] esiste un sottoinsieme aperto V ⊂ U ed
un diffeomorfismo
α: V → V1 × V2 ⊂ F1 × F2 = H
tale che per i = 1, 2 (a) Vi è una palla nel sottospazio Fi di H, in cui F1 ha dimensione finita ed F2
ha codimensione finita; (b) F2 = Im (dfx), α(x) = f(x); (c) f ◦ α−1 (x1, x2) =
η(x1, x2), x2 .
Sia n abbastanza grande in modo tale che Hn ∩ (V1 × V2) = ∅ e Hn + F2 = H. Indichiamo con
F un complementare di Hn ∩ F2 in Hn. Possiamo trovare un diffeomorfismo
H
Hn
β : V → W1 × W2 ⊂ F × F2
in modo tale che β(x) = f(x) e f ◦β −1 sia della forma f ◦β −1 (x1, x2) =
¯η(x1, x2), x2 . Sia y2 ∈ W2
tale che y2 ∈ Hn. Allora β−1 (y1, y2) ∈ Mn per ogni y1 in W1. Dunque U ∩ Mn = ∅.
Osservazione 2.39. La dimostrazione appena conclusa resta immutata nella sostanza quando in
luogo di H si consideri uno spazio di Banach reale E di dimensione infinita, dotato di una base di
Schauder e di partizioni dell’unità di classe C ∞ .
Una filtrazione costruita come nel teorema precedente sarà detta anche una filtrazione di Fredholm.
Teorema 2.40. Esiste una mappa di classe C ∞ , Fredholm di indice zero, limitata e propria
f : M → H trasversa ad Hn per ogni n in N. In particolare, tutte le sottovarietà Mn = f −1 (Hn)
sono compatte.
Dimostrazione. Per il corollario 2.34 sappiamo che una tale mappa f esiste, resta da dimostrare
che le sottovarietà Mn sono compatte: poiché f è limitata si ha che f(M) ⊂ BO(R), ove BO(R)
denota una palla chiusa di centro O e raggio R abbastanza grande, dunque, per ogni n
Mn = f −1 (Hn) = f −1 Hn ∩ BO(R) .
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA