Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

108 Spray
È immediato verificare dalla condizione che definisce gli spray (campi vettoriali del second’ordine
che soddisfano la condizione SPR 1) che gli spray costituiscono un insieme convesso. Quindi, se
siamo in grado di esibire gli spray su sottoinsiemi aperti di uno spazio di Banach allora possiamo
incollarli insieme per mezzo di una partizione dell’unità, e ottenere così il seguente teorema di
esistenza globale:
Teorema F.8. Sia M una varietà modellata su uno spazio di Banach E. Se M ammette partizioni
dell’unità, allora esiste uno spray su M.
F.3.1 Rappresentazione locale di uno spray
Sia (V, ϕ) una carta di M e ϕ(V ) = U il corrispondente sottoinsieme aperto del modello di Banach
E. In particolare T U = U × E e
T (T U) = T U × T E = (U × E) × (E × E).
Le rappresentazioni di r T U , r T T U e di d(r T U ) nelle carte rispettive sono date dalle mappe
rT U : (x, v) ↦→ (x, rv) d
rT U : (x, v, u, w) ↦→ (x, rv, u, rw)
r T T U : (x, v, u, w) ↦→ (x, v, ru, rw).
Così
rT T U ◦ d
rT U : (x, v, u, w) ↦→ rT T U (x, rv, u, rw) = (x, rv, ru, r 2 w).
Diamo ora la condizione locale affinché un campo di vettori del second’ordine S sia uno spray.
Proposizione F.9. In una carta U ×E per T M, sia S rappresentato da s: U ×E → E ×E. Allora
s rappresenta uno spray se e solo se
(∀ r ∈ R) s 2(x, rv) = r 2 s 2(x, v).
Dimostrazione. Supponiamo che s rappresenti uno spray, allora
x, rv, s(x, rv) = x, rv, s1(x, rv), s2(x, rv) (i)
= d(rT U) x, v, rs1(x, v), rs2(x, v) (ii)
=
(ii)
= d(rT U)
rT T U x, v, s1(x, v), s2(x, v) (iii)
(iv)
= rT T U
Giustifichiamo brevemente i passaggi:
= rT T U ◦ d(rT U ) x, v, s1(x, v), s2(x, v) (iv)
=
x, rv, s1(x, v), rs 2(x, v) (v)
= x, rv, rs 1(x, v), r 2 s 2(x, v) . (F.3.2)
(i) s rappresenta lo spray S, quindi S(rv) = d(r T M ) rS(v) ;
(ii) (x, v, ru, rw) = r T T U (x, v, u, w);
(iii) in virtù dell’equazione F.3.1, d(r T U ) ◦ r T T U = r T T U ◦ d(r T U );
(iv) d(r T U )(x, v, u, w) = (x, rv, u, rw);
(v) r T T U (x, v, u, w) = (x, v, ru, rw).
Dunque, in particolare, da (F.3.2) si ottiene s 2(x, rv) = r 2 s 2(x, v).
Viceversa, se s 2(x, rv) = r 2 s 2(x, v) allora
d(rT U) x, v, rs(x, v) = d(r T U ) x, v, rs 1(x, v), rs 2(x, v)
= d(rT U )
rT T U x, v, s1(x, v), s2(x, v)
= rT T U ◦ d(rT U) x, v, s1(x, v), s2(x, v)
= x, rv, rs1(x, v), r 2 s2(x, v)
↓
= x, rv, rs1(x, v), s2(x, rv)
= x, rv, s 1(x, rv), s 2(x, rv) = x, rv, s(x, rv) ,
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
(F.3.3)