Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

100 Mappe di Fredholm: teoria non lineare
Dimostrazione. Sia C un chiuso in X e sia (xh) una successione in C con f(xh) convergente ad y
in Y . Allora xh appartiene alla controimmagine attraverso f del compatto {f(xh)}h∈N ∪ {y}. A
meno di una sottosuccessione, (xh) è convergente a x ∈ C, essendo C chiuso in X. Dalla continuità
di f segue f(x) = y, quindi y ∈ f(C).
Osservazione E.8. Se X, Y sono spazi topologici, X di Hausdorff, f : X → Y è una applicazione
continua propria e F ⊂ X è un chiuso, allora f|F : F → Y è propria. Infatti, posto K ⊂ Y un
sottoinsieme compatto, f −1 (K) ⊂ X è un compatto, dunque, essendo X separato, f −1 (K) è un
chiuso e quindi C := f −1 (K) ∩ F ⊂ X è un chiuso di X dunque è chiuso in f −1 (K). D’altra
parte C ⊂ f −1 (K), quest’ultimo essendo compatto, dunque C è compatto in f −1 (K), e quindi C è
compatto in X. Segue che C è compatto in F e quindi f|F : F → Y è propria.
Osservazione E.9. In particolare, se X = Y = R, una funzione continua f : R → R non è propria
se esiste un compatto K ⊂ R per cui l’immagine inversa f −1 (K) non sia compatta in R, se e solo se
esiste una successione di punti (xn) in R con limn→∞ xn = ∞ tale che f(xn) non sia divergente.
Si osservi che, se in più f è limitata, allora ogni successione di punti nell’immagine di f è limitata,
dunque ogni funzione continua limitata f : R → R non può essere propria. Oppure, preso come
compatto K la chiusura dell’immagine di f, se il dominio di f non è limitato allora la preimmagine
f −1 (K) non è compatta. Questo fenomeno non si presenta in dimensione infinita, infatti, come si
è osservato nella sezione 2.2, non c’è alcuna ostruzione affinché una mappe limitata sia propria.
Teorema E.10. Una mappa di Fredholm è localmente propria. Precisamente, se f : M → N è
una mappa di Fredholm e x ∈ M, allora esiste un intorno chiuso Ux di x tale che f|Ux : Ux → N è
propria.
Dimostrazione. Proviamo dapprima l’enunciato nel caso particolare in cui M ed N siano spazi
di Banach E ed E ′ rispettivamente, essendo f : E → E ′ una generica (i.e., non necessariamente
lineare) mappa di Fredholm. Sia x0 in E, dfx0 : E → E′ . Siccome dim ker dfx0 < ∞, E può essere
scritto nella forma E1×ker dfx0 , E1 spazio di Banach e x0 = (p0, q0), p0 ∈ E1, q0 ∈ ker dfx0 . Indicata
con D1f(x0) la derivata parziale di f rispetto alla prima variabile nel punto x0, si ha che
D 1f(x0) = df x0 | E1 : E1 → E ′ .
Inoltre (i) D 1f(x0): E1 → E ′ è iniettivo e (ii) rk D1f(x0) = rk (df0) è un sottospazio chiuso di E ′ .
Per il teorema della funzione implicita esiste quindi un intorno D1×D2 di (p0, q0) in E1×ker D 1f(x0)
tale che D2 è compatto e, se q ∈ D2, allora f ristretta a D1×{q} è un omeomorfismo (differenziabile)
con l’immagine.
Sia (xi) = (pi, qi)i una successione di punti di D1×D2 appartenente alla preimmagine (mediante
f) di un qualche compatto. Basterà dimostrare che (xi) ammette una successione estratta convergente
in D1 × D2. Innanzitutto, a meno di passare ad una sottosuccessione, esiste y = limi f(xi),
inoltre siccome D2 è compatto, a meno di passare ad una sottosuccessione si può assumere che
qi → q, da cui, per la continuità di f, f(pi, q) → y. D’altra parte f ristretta a D1 × {q} è un
omeomorfismo con l’immagine, quindi da f(pi, q) → y segue che pi → p ed il teorema è provato in
questo caso.
Nel caso generale in cui M ed N siano varietà di Banach la tesi segue immediatamente considerando
l’espressione locale di f nelle carte coordinate di M ed N.
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA