Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

48 Embedding aperti di varietà di dimensione infinita
Sia
Zn := Int ∩{Um : m n} e Z 0 n := Int ∩{U 0 m : m n}. (2.5.13)
Allora per ogni n ∈ N, (i) Zn è aperto in M, (ii) Zn ⊃ Mn, infatti, se x ∈ M è un punto di
Mn, nelle notazioni del lemma 2.64, x ∈ Qx ⊂ ∩{Um : m > qx}, d’altra parte, per ogni m ≥ n,
x ∈ Mn ⇒ x ∈ Mm ⇒ x ∈ Um, per cui, se qx ≥ n allora x ∈ ∩{Um : n ≤ m ≤ qx}, e quindi, in
definitiva, x ∈ ∩{Um : n ≤ m ≤ qx}∩Qx ⊂ ∩{Um : m n}. Si osservi che ∩{Um : n ≤ m ≤ qx}∩Qx
è un intorno di x perché Qx è un intorno di x (cfr. lemma 2.64) ed ogni Um ⊂ M è aperto in M.
Dunque, se qx ≥ n, abbiamo trovato un intorno di x interamente contenuto in ∩{Um : m n}.
D’altra parte se qx < n allora x ∈ Qx ⊂ ∩{Um : m > qx} ⊂ ∩{Um : m n}, i.e., Qx è un intorno
di x interamente contenuto in ∩{Um : m n}. Riassumendo, se x ∈ Mn allora si può sempre
trovare un intorno di x interamente contenuto in ∩{Um : m n}, i.e., x ∈ Zn. (iii) Come si è già
ricordato, per ogni m ≥ n, Um è aperto; d’altra parte l’intersezione numerabile ∩{Um : m n}
non è necessariamente aperta, dunque, per ottenere un insieme aperto è necessario considerare la
parte interna di ∩{Um : m n}. (iv) Nelle notazioni del lemma 2.64, Zn = {x ∈ M : qx = n − 1}
e perciò Zn = {x ∈ M : qx < n}, segue che, a posteriori, nel punto (ii) l’evento qx ≥ n non si
verifica, e quindi, effettivamente, se x ∈ Mn allora qx < n. (v) Zn ⊂ ∩{Um : m n} ⊂ Un, d’altra
parte
e quindi
Mn × 1 2r | H
Mn
n ∼ =
−→ Un = Tn Mn × 1 2r | H
Mn
n ,
T −1
n (Zn) ∼ =
−→ Zn.
Dunque, effettivamente, per ogni n ∈ N, Zn è un intorno standard di Mn. Ovviamente le proprietà
(i)-(v) sono verificate anche per gli Z 0 n, i quali sono anch’essi intorni standard degli Mn.
Inoltre, M = ∪{Z 0 n : n 0}, infatti se x ∈ M allora per il lemma 2.64 esiste qx ∈ N e un intorno
Qx di x tale che Qx ⊂ ∩{U 0 m : m qx + 1}. Dunque x ∈ Int ∩{U 0 m : m qx + 1} = Z 0 qx+1.
Chiaramente, per ogni n ≥ 1, Z 0 n−1 ⊂ Z 0 n ⊂ Z 0 n e per ogni n ∈ N, Zn ⊂ Zn+1; resta da provare
che Z 0 n ⊂ Zn. Per questo scopo, si osservi inizialmente che, se q ≥ n è fissato allora
Z 0 n = Int ∩ {U 0 m : m n} ⊂ Int ∩ {U 0 m : q m n};
d’altra parte, siccome per ogni m ∈ N, U 0 m è aperto,
Int ∩ {U 0 m : q m n} = ∩{U 0 m : q m n} ⊂ ∩ U 0 m : q m n
e quindi, essendo per ogni m ∈ N,
risulta
U 0
m = Tm Mm × 1 4r | H
Mm
m
= Tm Mm × 1 4r| Mm Hm
⊂ Tm Mm × 1 2r| Mm Hm = Um,
Z 0 n ⊂ ∩{Um : q m n} = Int ∩ {Um : q m n}. (2.5.14)
Sia x ∈ Z0 n. Nelle notazioni del lemma 2.64, se qx < n allora ∃ Qx tale che
x ∈ Qx ⊂
Um =
Um ∩
Um ⊂
Um,
m>qx
qx qx},
m>qx
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA