Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

C.1 Varietà di dimensione infinita 73
Teorema C.26 (Sard-Smale, [Sm 65]). Sia M una varietà di Banach a base numerabile, N una
varietà di Banach, ed f : M → N una mappa Fredholm di indice n di classe C q . Se q > max{n, 0}
allora i valori critici di f sono di prima categoria; inoltre, se f è una mappa propria allora l’insieme
dei valori regolari di f costituisce un aperto denso di N.
Teorema C.27. Sia f : M → N di classe C ∞ e q ∈ Rf . Allora l’insieme di livello
f −1 (q) = {p ∈ M : f(p) = q}
−1 è una sottovarietà chiusa di M il cui spazio tangente è dato da Tp f (q) = ker dfp.
Lemma C.28. Siano A e B spazi vettoriali e F : A → B un’applicazione lineare. Se
allora
dim ker F < ∞
dim A = dim rk F + dim ker F, (C.1.2)
in particolare dim A = ∞ se e solo se dim rk F = ∞. Inoltre, se C un sottospazio vettoriale di B,
allora
dim F −1 (C) = dim rk (F ) ∩ C + dim ker F. (C.1.3)
Dimostrazione. Per ottenere la (C.1.3) è sufficiente applicare il teorema della dimensione (C.1.2)
alla restrizione di F al sottospazio F −1 (C): F | F −1 (C) : F −1 (C) → C. Infatti (i)
e (ii) ker F | F −1 (C) = ker F .
rk F | F −1 (C) = rk (F ) ∩ C
Proposizione C.29. Siano M e N varietà di Banach ed f : M → N una mappa di classe C∞ .
Sia Z ⊂ N una sottovarietà. Se f ⋔ Z, allora f −1 (Z) è una sottovarietà di M e
−1 −1
∀ p ∈ f (Z) f (Z) = (dfp) −1 Tf(p)Z .
Tp
Se Z ha codimensione finita in N, allora codim f −1 (Z) = codim (Z). Se Z ha dimensione finita
e f è di Fredholm allora dim f −1 (Z) = ind (f) + dim Z.
Dimostrazione. Sia (V, ψ) una carta per N centrata in f(p0) ∈ Z della forma
ψ : V → F1 ⊕ F2, ψ(V ∩ Z) = ψ(V ) ∩ (F1 × {0}). (C.1.4)
In particolare, ψ f(p0) = (0, 0), inoltre, posto ψ(V ) = V1 × V2 ⊂ F1 ⊕ F2, risulta ψ(V ∩ Z) =
V1 × {0}. Denotiamo con π2 : V1 × V2 → V2 la proiezione canonica. Sia (U, ϕ) una carta per M
centrata in p0 tale che ϕ: U → ϕ(U) ⊂ E e f(U) ⊂ V . Sia p ∈ U ∩ f −1 (Z), dunque
d
π2 ◦ ψ ◦ f|U
e per l’ipotesi di trasversalità di f rispetto a Z,
p = π2 ◦ dψ f(p) ◦ dfp,
F1 + d(ψ ◦ f)p(TpM) = F1 ⊕ F2.
Segue che d(π2 ◦ ψ ◦ f|U )p : TpU = TpM → F2 è surgettivo. Il suo nucleo è (dfp) −1 (Tf(p)Z), essendo
ker π2 = F1 e
−1(F1) dψf(p) = Tf(p)Z, dunque (dfp) −1 (T f(p)Z) è complementato in TpM. Equivalentemente, 0 è un valore regolare di
π2 ◦ ψ ◦ f|U : U → F2 e perciò
−1(0) −1
π2 ◦ ψ ◦ f|U = f (Z ∩ V )
RAUL TOZZI