Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

Appendice D
Intorni tubolari
Questa appendice copre la parte di teoria relativa agli intorni tubolari. Si tratta di una nozione
ricorrente in varie parti della tesi, essendo la dimostrazione stessa del Teorema di Embedding Aperto
innanzitutto un processo di approssimazione, riduzione al caso finito dimensionale, e quindi un processo
di miglioramento di una certa filtrazione di Fredholm costituita da varietà finito dimensionali
approssimanti, miglioramento ottenuto sfruttando pesantemente la nozione di intorno tubolare.
Prima di introdurre questa importante nozione, introdurremo due nozioni ad essa strettamente
legate: la prima, la nozione di fibrato normale, che permette di definire gli intorni tubolari stessi, la
seconda, la nozione di fibrato comprimibile, anch’essa assai legata alla nozione di intorno tubolare.
D.1 Fibrato normale
Definizione D.1. Sia N una sottovarietà di una varietà M. Indicata con ι: N ↩→ M l’inclusione
di N in M, per ogni p in N lo spazio tangente a N in p può essere riguardato come un sottospazio
di TpM via l’inclusione lineare dιp : TpN → TpM, in cui si è posto p = ι(p). Il fibrato normale
di N in M è il fibrato vettoriale N (N) su N ottenuto considerando l’unione disgiunta degli spazi
vettoriali quozienti TpM/TpN, insieme con la proiezione naturale π : N (N) = (T M|N)/T N → N.
Si osservi esplicitamente che la fibra TpM/TpN sopra ciascun punto p della base consiste dell’insieme
delle classi di equivalenza di elementi di TpM modulo la relazione che identifica due vettori la
cui differenza appartiene a TpN: X1 ∼ X2 sse X1 = X2 + V per qualche V ∈ TpN. Il modo
usuale di lavorare con una tale struttura consiste nello scegliere un rappresentate in ciascuna classe,
considerare il fibrato normale N (N) come un sottofibrato di T M|N, e determinare così un fibrato
complementare a T N nella restrizione di T M a N:
T M|N = T N ⊕ N (N). (D.1.1)
In generale, non c’è alcuna scelta canonica in cui identificare preferenzialmente N (N) come un
sottofibrato di T M|N. D’altra parte, quando su N è assegnata una metrica Riemanniana, in questo
caso c’è una definizione naturale del fibrato complementare come il fibrato le cui singole fibre
sopra i punti p di N siano il complemento ortogonale di TpN in TpM. Sia dunque M una varietà
Riemanniana, ed N una sottovarietà, con la struttura Riemanniana indotta. Fissato un punto p di
N, abbiamo una decomposizione ortogonale dello spazio tangente ad M in p data da
TpM = TpN ⊥ ⊕ Np(N),
in cui si è indicato con Np(N) il complemento ortogonale di TpN in TpM, (TpN) ⊥ . Denotiamo
con π T N : T M → T N e π N (N) : T M → N (N) le proiezioni ortogonali sui fibrati rispettivi. Nella
decomposizione
T M|N = T N ⊥ ⊕ N (N),
85