Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

46 Embedding aperti di varietà di dimensione infinita
C t(u) ∩ C t(u ′ ) = ∅, dunque, per costruzione, esiste un As con C t(u) ∪ C t(u ′ ) ⊂ St(C t(u)) ⊂ As.
Ricordando quanto osservato nel punto (ii) di cui sopra, segue che x, y ∈ St(Ct(u)) ⊂ As; infine,
invocando il lemma 2.62, la restrizione di Tn ad (As ∩ Mn) × rH n (r < d, d|As < dxs ) è un
diffeomorfismo.
In conclusione, riassumendo, abbiamo provato che se (x, v), (y, w) ∈ Mn × rH n sono tali che
Tn(x, v) = Tn(y, w), allora (x, v), (y, w) ∈ (As ∩ Mn) × rH n , cosicché (x, v) = (y, w). Dunque la
restrizione di Tn a Mn × r| H Mn n è iniettiva, e siccome Tn è un diffeomorfismo locale segue che
Tn| Mn×r|MnH n è un diffeomorfismo con l’immagine:
Mn × r| H Mn n
∼ = Tn Mn × r| H Mn n .
Chiaramente Tn Mn × r| H Mn n ⊃ Mn, infatti per ogni x ∈ Mn
Tn(x, O) = exp Sn(x, O)
= exp
h µh(x)
−1(O)
d(ϕh)x = exp(Ox) = x.
Infine, posto per ogni n in N
Un := Tn Mn × r| H Mn n ⊂ M (2.5.9)
si ottiene un sottoinsieme aperto di M. Proviamo anche questa affermazione con tutti i dettagli. Sia
y in Un = Tn(Mn×r|MnH n ). Siccome, ove definito, Tn è un diffeomorfismo locale, per definizione di
diffeomorfismo locale esiste un intorno Vy ⊂ Un del punto y, Vy aperto in M, ed un sottoinsieme U
di Mn × r|Mn Hn tale che Tn|U : U → Vy sia un diffeomorfismo. In particolare si è così determinato
per ogni y in Un un intorno Vy ∋ y aperto in M, Vy ⊂ Un. Dunque Un è intorno di tutti i suoi
punti ed è pertanto un aperto di M.
2.5.3 Filtrazioni augmentate
Prima di procedere con la dimostrazione del teorema principale di questa sezione, ci servirà un
ultimo lemma tecnico. Denotiamo con (Um)m≥0 la famiglia di intorni standard definita da r/2
Um := Tm Mm × 1 2r | Mm
H m ,
in cui r è la funzione costruita nella proposizione 2.63 precedente.
Lemma 2.64. Ogni punto x in M ammette un intorno Qx e un intero qx tale che
m > qx =⇒ Qx ⊂ Um. (2.5.10)
Dimostrazione. Come al solito, salvo esplicito avviso contrario, impiegheremo la terminologia e le
notazioni introdotte fino a questo punto. Sia x ∈ M. Esistono 16 dunque indici u, s, i ′ tali che
x ∈ Du ⊂ C t(u) ⊂ Bs ⊂ As ⊂ Vi ′ ⊂ W j(i ′ ). (2.5.11)
Supponiamo per assurdo che non esista un tale intorno Qx e consideriamo una successione (yi)i di
punti di Du convergente verso x e una successione di numeri naturali (mi)i monotona divergente
tale che
(∀ i) yi /∈/∈/∈ Umi := Tmi
Mmi × 1 2r | H
Mmi
mi ⊃ Mmi , (2.5.12)
16 Giustifichiamo brevemente le inclusioni di cui in (2.5.11): nelle notazioni della proposizione 2.63, (Du)u≥1 è
un ricoprimento di M che costituisce un raffinamento di (Ct)t≥1; inoltre, sempre nelle notazioni introdotte nella
proposizione 2.63, (Ct)t≥1 è un raffinamento di (Bs)s≥1, quest’ultimo essendo un raffinamento shrunk di (As)s≥1.
D’altra parte (As)s≥1 è un raffinamento di (Ax)x∈M tale che, per ogni x ∈ M, nelle notazioni introdotte nel
lemma 2.62, Ax è un intorno convesso di x contenuto in un qualche Vi, essendo (Vi)i≥1 un raffinamento (fornito dal
lemma 2.55) dell’atlante layer forte (Wj)j≥1 di M.
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA