Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

G.2 Richiami di analisi lineare negli spazi di Hilbert 117
In uno spazio di Hilbert i sottospazi densi hanno una interessante caratterizzazione in termini
della nozione di ortogonalità.
Corollario G.19. Un sottospazio vettoriale M di uno spazio di Hilbert è denso se e solo se il
vettore nullo è il solo vettore ortogonale ad M, i.e., M ⊥ = {0}.
Dimostrazione. Sia M un sottospazio vettoriale di uno spazio di Hilbert H e denotiamo con M
la sua chiusura rispetto alla topologia indotta dalla norma. Assumiamo dapprima che M = H
e sia x ⊥ M. Si consideri una successione (xn) di punti di M tale che xn → x e si noti che
0 = 〈xn, x〉 → 〈x, x〉 implica 〈x, x〉 = 0, i.e., x = 0.
Viceversa, assumiamo che M ⊥ = {0}. Poiché (M) ⊥ = M ⊥ , per il teorema G.18
e quindi M è denso in H.
M = M ⊕ {0} = M ⊕ (M) ⊥ = H,
Siccome il prodotto scalare è una funzione congiuntamente continua (cfr. proposizione G.15)
segue che ogni vettore y in uno spazio pre-hilbertiano H definisce un funzionale lineare continuo
fy : H → R via la formula fy(x) = 〈x, y〉. Se H è uno spazio di Hilbert, allora tutti i funzionali
lineari continui su H sono di questa forma.
Teorema G.20 (Riesz). Se H è uno spazio di Hilbert e f : H → R è un funzionale lineare
continuo, allora esiste uno ed un solo vettore y in H tale che
∀x ∈ H
f(x) = 〈x, y〉. (G.2.1)
Inoltre risulta |f | L(H) = |y | H .
Se H è uno spazio di Hilbert, allora il teorema G.20 mostra che è possibile definire una mappa
da H su H ∗ , y ↦→ fy := 〈x, y〉. Inoltre, siccome si verifica subito che
fy + fz = fy+z αfy = fαy |fy | = |y |,
segue che l’associazione y ↦→ fy := 〈x, y〉 è invero una isometria lineare da H su H ∗ (si ricordi che
un operatore lineare T : X → Y tra due spazi normati è detto una isometria se, per ogni x in X,
|T x| = |x|). Per mezzo di questa isometria, si stabilisce il seguente importante:
Corollario G.21. Ogni spazio di Hilbert è uno spazio di Banach riflessivo.
Ricordiamo adesso alcuni fatti riguardanti i sistemi ortogonali ed i sistemi ortonormali.
Definizione G.22. Diremo che un sistema ortogonale S di uno spazio con prodotto scalare è
completo se x ⊥ s per ogni s in S implica x = 0.
Eruditi dal corollario G.19 è bene porre in evidenza che, nella collezione di tutti i sistemi
ortonormali di uno spazio di Hilbert H, un sistema ortonormale S è completo se e solo se lo spazio
vettoriale da esso generato (ossia l’insieme di tutte le combinazioni lineari finite di elementi di S)
è denso in H.
Teorema G.23. Ogni spazio con prodotto scalare ha un insieme ortogonale completo, e quindi, in
particolare, ha un insieme ortonormale completo.
Dimostrazione. Il teorema segue dal lemma di Zorn osservando che la collezione di tutti i sistemi
ortogonali, ordinata dall’inclusione, ha un elemento massimale. Per concludere la prova, si noti che
un sistema ortogonale è massimale se e solo se esso è completo.
Un sistema ortogonale completo è un sistema ortogonale massimale. Per il teorema G.23
sappiamo che ogni spazio con prodotto scalare ha un sistema ortogonale completo.
RAUL TOZZI