Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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52 Embedding aperti di varietà di dimensione infinita Dimostrazione. La mappa F0 : ℓn Dn → Mn+1 × Hn+1 definita ponendo F0 := jn ◦ ℓ−1 n è chiaramente della forma (x, v) ↦−→ a(x, v), v , (2.6.7) in cui a: ℓn Dn → Mn+1 è una mappa opportuna. Si osservi in particolare che a(x, 0) = x, infatti jn ◦ ℓ−1 n (x, 0) = jn ◦ T −1 n ◦ Tn+1(x, 0) = jn(x, 0) = ℓn(x, 0) = (x, 0), quindi, effettivamente, a(x, 0) = x. Sia µ: R → [0, 1] una funzione (differenziabile) monotona decrescente con µ(t) = 1 se t ≤ 0 e µ(t) = 0 se t ≥ 1. Posto Ft(x, v) := a x, µ(t)v , v , F := (t, Ft): R × ℓn Dn −→ R × Mn+1 × H n+1 è una isotopia di embedding con dominio proprio I = [0, 1]: in particolare gli embedding F0 ed F1(x, v) = (x, v) sono isotopi. Posto Y := Mn+1, Z := ℓn Dn , Z0 := ℓn( D0 n), B := Hn+1 , f := F , le ipotesi di applicabilità del lemma 2.70 sono soddisfatte, (in particolare Y è una varietà compatta, infatti abbiamo avuto cura di costruire la filtrazione di Fredholm (Mn) mediante una mappa di Fredholm propria e limitata, da cui, per il teorema 2.40, segue che le sottovarietà Mn sono compatte) dunque esiste una isotopia G: R × Mn+1 × H n+1 −→ R × Mn+1 × H n+1 con dominio proprio I della forma G(t, x, v) = t, At(x, v), v , tale che (i) G0 = id, i.e., G(0, x, v) = (0, x, v) per ogni (x, v) ∈ Mn+1 × H n+1 ; (ii) G1 ◦ F0|ℓn( D0 n) = F1|ℓn( D0 n) = ι: ℓn( D0 n) ↩→ Mn+1 × Hn+1 , i.e., G 1, F0(x, v) = G 1, a(x, v), v = 1, x, v G 1, a(x, v), v = 1, x, v G 1, a(x, v), v = 1, x, v = F 1, (x, v) per ogni (x, v) ∈ ℓn( D0 n). Infine, posta Jn+1 := G −1 : R × Mn+1 × H n+1 → R × Mn+1 × H n+1 , Jn+1 soddisfa le richieste del lemma. Infatti, G −1 è una isotopia con dominio proprio I perché tale è G; G −1 è della forma G −1 (t, x, v) = t, gt(x, v), v ; inoltre (i) G −1 0 = id (infatti G0 = id), ed infine (ii) ∀ (x, v) ∈ ℓn( D 0 n), G −1 1 (x, v) = a(x, v), v (2.6.7) = jn ◦ ℓ −1 n (x, v). Riassumiamo graficamente gli oggetti e i morfismi introdotti nel seguente diagramma. Mn × Hn ⊃ D 0 n ℓn jn Gn+1 U 0 n+1 × Hn+1 Un+1 × H n+1 ∩ Mn+1 × H n+1 ∩ ∩ Jn+1,1 Mn+1 × Hn+1 Chiudiamo la sezione con alcune definizioni e una osservazione. IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA (2.6.8)
2.7 Prova del teorema di embedding aperto 53 Definizione 2.72. Dato uno spazio topologico Y consideriamo il fibrato banale Y × H. Un isomorfismo di fibrati vettoriali β : Y × H → Y × H sarà detto layer forte se è della forma β(y, v) = y, v + α(y, v) , in cui α: Y × H → H è una applicazione di rango finito. Definizione 2.73. In particolare, una isotopia di isomorfismi di fibrati vettoriali β : R × Y × H → R × Y × H sarà detta una isotopia layer forte se, per ogni t, l’isomorfismo di fibrati βt : Y × H → Y × H è layer forte. Osservazione 2.74. Se M è una varietà Hilbertiana, per il teorema di Kuiper esiste una banalizzazione globale per il fibrato tangente ad M, altrimenti, nel caso in cui M sia una varietà di Banach richiederemo nel seguito che M sia parallelizzabile. In ogni caso, indicata con τ : T M → M × H una tale banalizzazione globale, poiché M è equipaggiata di un atlante layer forte (cfr. proposizione 2.41), possiamo supporre che τ sia una banalizzazione layer, i.e. un isomorfismo di fibrati vettoriali di tipo L(I), in accordo con la definizione 2.16. Indicata con ιn : Mn ↩→ M l’inclusione di Mn in M, nella prossima sezione considereremo l’isomorfismo τn : T M n ⊕ H n → M n × H definito tramite τ da τn(x, v1, v2) : def = x, τ d(in) x[v1] + Sn(x, v2) . (2.6.9) 2.7 Prova del teorema di embedding aperto In questa ultima sezione completeremo la dimostrazione del teorema di embedding aperto, precisamente, immergeremo con un embedding aperto ogni intorno tubolare Zn di Mn nel modello H della varietà ambiente M; inoltre, siccome per ogni n, Zn ⊂ Zn+1, costruiremo detti embedding in modo che (∀ n) l’embedding di Zn in H si estenda all’embedding di Zn+1 in H. Ciò sarà reso possibile da un importante lemma (cfr. lemma 2.76) che permetterà di adattare opportunamente i domini delle varie mappe via i teoremi di isotopia introdotti nelle sezioni precedenti ed i teoremi di isotopia ambientale della teoria classica in dimensione finita (cfr. [Hir 94], Capitolo 8). In un certo senso il lemma 2.76 è il risultato fondamentale di questa sezione. Nelle ipotesi e nelle notazioni precedentemente introdotte (si consultino i diagrammi (2.6.5) e (2.6.8) per avere un riassunto di tutti gli oggetti ed i morfismi che abbiamo introdotto fino a questo punto) enunciamo la seguente proposizione: Proposizione 2.75. Per ogni n in N esiste un embedding aperto gn : Mn × H n → H ed un intero ¯n ∈ N per cui: (a) gn| D 0 n = gn+1 ◦ ℓn| D 0 ; n (b) gn : Mn × H n → H¯n × H ¯n è della forma gn(x, v) = ¯gn(x, v), π ¯n (v) , in cui si è indicata con ¯gn : Mn × H n → H¯n la composizione π¯n ◦ gn; (c) esiste una isotopia layer forte βn : R × Mn × H → R × Mn × H tale che (i) βn,0 = idMn×H, (ii) βn,1 ◦ (dgn)| T (Mn×H n )Mn×{O} : (x, w, e) ∈ T Mn ×H n ↦→ βn,1 x, d(gn) (x,O) (w, e) ∈ Mn ×H coincide identicamente con τn; (d) gn(Mn × rH n ) ⊂ H è un sottoinsieme limitato. Dimostrazione. La dimostrazione procede per induzione su n. RAUL TOZZI
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Prefazione L’obiettivo principale
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S 1 , che certamente non ammette un
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BIBLIOGRAFIA 123 [Hir 94] M. Hirsch
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BIBLIOGRAFIA 125 [Wa 60] C.T.C. Wal
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