Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

C.3 Partizioni dell’unità 79
Chiaramente, è possibile che su uno stesso fibrato vettoriale π : X → M si possano considerare
due distinte (i.e., non isomorfe) strutture di fibrato di Hilbert su M, basti pensare al caso in cui la
base del fibrato sia costituita da un singolo punto.
Ogni fibrato di Hilbert che determina un assegnato fibrato vettoriale π : X → M sarà detto una
riduzione di π al gruppo di Hilbert. Riduzione perché, se dotiamo un assegnato fibrato vettoriale
della struttura ulteriore di fibrato di Hilbert dobbiamo ridurre l’originario gruppo di struttura del
fibrato alle sole funzioni di transizione per cui χ βp ◦ χ −1
αp è un automorfismo di Hilbert.
C.3 Partizioni dell’unità
Definizione C.41. Una partizione dell’unità su uno spazio paracompatto S è il dato di un
ricoprimento aperto {Uα} di S e di una famiglia {ρ α} di funzioni reali ρα : S → R tali che
PU 1. per ogni s ∈ S risulta ρα(s) ≥ 0 per ogni indice α;
PU 2. per ogni α, il supporto di ρα è contenuto in Uα;
PU 3. {Uα} è un ricoprimento localmente finito di S;
PU 4. per ogni s ∈ S,
α ρα(s) = 1.
Le proprietà PU 2 e PU 3 della definizione C.41 implicano che nell’intorno di ciascun punto
di S solo un numero finito di elementi della partizione dell’unità sono diversi da zero; quindi la
somma nella proprietà PU 4 è ben definita, in quanto in ciascun punto di S solo un numero finito
di addendi sono non nulli.
Diremo che una varietà M ammette partizioni dell’unità se, dato un ricoprimento aperto localmente
finito {Uα} di M, esiste una partizione dell’unità {ρα} tale che, per ogni α, il supporto di
ρα è contenuto in Uα. In quest’ultimo caso diremo brevemente che la partizione dell’unità {ρα} è
subordinata al ricoprimento aperto {Uα} di M.
Ogni spazio paracompatto e quindi, in particolare, ogni spazio metrico (cfr. [Bou3 89], [Kel 55])
ammette partizioni dell’unità topologiche (cfr. [Kel 55]). D’altra parte, l’esistenza su uno spazio
di Banach di dimensione infinita di una partizione dell’unità di classe C ∞ è legata alla Fréchètdifferenziabilità
della norma esistono spazi di Banach per i quali la norma non è differenziabile
secondo Fréchèt in alcun punto, per esempio (ℓ 1 , | · | 1) . Per esempi, teoremi e controesempi si
rimanda il lettore a [DGZ 93].
Teorema C.42. Ogni varietà paracompatta di classe C ∞ modellata su uno spazio di Hilbert
ammette partizioni dell’unità di classe C ∞ .
Dimostrazione. La dimostrazione segue da [Lan 01] Capitolo II, paragrafo 3.
Definizione C.43. Uno spazio di Banach è detto di classe C ∞ se esso ammette partizioni dell’unità
di classe C ∞ .
Corollario C.44. Se E è uno spazio di Banach che ammette una norma equivalente di classe C ∞
su E \ {O} allora E è di classe C ∞ . Inoltre, ogni varietà paracompatta di classe C ∞ modellata su
uno spazio di Banach di classe C ∞ ammette partizioni dell’unità di classe C ∞ .
C.4 Varietà Riemanniane
Il modello degli oggetti matematici ricorrenti in geometria Riemanniana (varietà, fibrati vettoriali)
è uno spazio vettoriale Hilbertabile, ossia uno spazio vettoriale topologico completo la cui topologia
sia deducibile dalla norma associata ad una forma bilineare, simmetrica e definita positiva.
RAUL TOZZI