Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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86 Intorni tubolari una sezione di T M su N è della forma (ζ, ν), in cui ζ ∈ T (N) è una sezione di T N, i.e. un campo di vettori su N, e ν è un campo normale, cioè una sezione del fibrato normale N (N). D.2 Fibrati comprimibili Introduciamo l’importante nozione di fibrato comprimibile. Come vedremo fra poco, essa risulterà utile quando indagheremo le proprietà degli intorni tubolari. Definizione D.2. Un fibrato vettoriale π : X → M (cfr. definizione C.30) è detto comprimibile se, dato comunque un intorno aperto V della sezione nulla, ζ(M) ⊂ V ⊂ X, esiste un aperto ζ(M) ⊂ V1 V1 V1 ⊂ V , ed un diffeomorfismo di classe C∞ di X su V1, ϕ: X −→ V1, tale che il seguente diagramma sia commutativo: X ϕ V1 π π |V1 M Nel caso particolarissimo in cui la varietà M base del fibrato sia ridotta ad un singolo punto, e quindi lo spazio totale X sia uno spazio di Banach E, la definizione D.2 asserisce che E è C ∞ - diffeomorfo ad intorni arbitrariamente piccoli dell’origine O ∈ E, fatto sempre vero per gli spazi di Hilbert, ma problematico per gli spazi di Banach. Definizione D.3. Sia M una varietà, e σ : M → R + una funzione continua. Sia π : X → M un fibrato di Hilbert su M. Denoteremo con X(σ) il sottoinsieme di X costituito dai vettori v tali che, se v appartiene a Xp, allora |v | p < σ(p). In particolare, X(σ) è un intorno aperto della sezione nulla. Proposizione D.4. Sia M una varietà e π : X → M un fibrato di Hilbert. Se σ : M → R + è una funzione continua, allora la mappa w ↦−→ è un diffeomorfismo di classe C ∞ di X su X(σ). Dimostrazione. Ovvia, la mappa inversa essendo v ↦−→ σ(πw) w 1 + |w | 21/2 v [σ(πv)] 2 − |v | 2 1/2 . Corollario D.5. Siano M una varietà che ammetta partizioni dell’unità e π : X → M un fibrato di Hilbert su M. Allora X è comprimibile. Dimostrazione. Sia Z un intorno aperto della sezione nulla. Per ogni p ∈ M, esiste un intorno aperto Vp di p ed un numero reale strettamente positivo ap tale che i vettori in π−1 (Vp) aventi lunghezza minore di ap appartengono a Z. Sia {(Ui, ϕi)} una partizione dell’unità su M subordinata a {Vp}p: ciò significa in particolare che per ogni i esiste p = p(i) tale che Ui ⊂ Vp(i). Infine, sia σ la funzione definita ponendo σ(p) : def = ap(i) ϕi. Allora X(σ) è contenuto in Z, e l’asserto segue dalla proposizione D.4. IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
D.3 Nozione di intorno tubolare 87 D.3 Nozione di intorno tubolare Definizione D.6 (Intorno tubolare). Sia N una sottovarietà di una varietà M. Un intorno tubolare di N in M è il dato di: IT 1. Un fibrato vettoriale π : X → N su N. IT 2. Indicata con ζ : N → X la sezione nulla, un intorno aperto V di ζ(N) in X ζ(N) ⊂ V ⊂ X. IT 3. Un insieme aperto U in M contenente N, N ⊂ U ⊂ M, ed un diffeomorfismo f : V → U per cui f ◦ ζ = ι: N ↩→ U: V π |V N La mappa f è detta la mappa tubolare, e V (o la sua immagine tramite f) il corrispondente tubo in X (o in M, rispettivamente). Diremo che l’intorno tubolare è totale se V = X, i.e., l’intero spazio totale del fibrato. Riassumendo, un intorno tubolare di N in M è una coppia (π, f) in cui π : X → N è un fibrato vettoriale ed f è un diffeomorfismo da un intorno V della sezione nulla di X su un intorno U = f(V ) di N in M. Chiaramente, in particolare, possiamo definire la nozione di intorno tubolare quando il diffeomorfismo f è un embedding. Definizione D.7. Diremo che un intorno tubolare è Hilbertiano se il fibrato di cui al punto IT 1 della definizione D.6 precedente è un fibrato vettoriale Hilbertiano (cfr. sottosezione C.2.2). D.4 Esistenza degli intorni tubolari La costruzione di intorni tubolari per sottovarietà di R m è molto semplice: si considera il fibrato normale relativo alla metrica canonica euclidea e lo si realizza parzialmente con l’aiuto delle geodetiche euclidee: i segmenti. Per sottovarietà di una varietà astratta di dimensione finita si può procedere in modo analogo, fissando una metrica Riemanniana sul tangente e usando le geodetiche associate in luogo dei segmenti. Più in generale, il teorema di esistenza dell’intorno tubolare per varietà astratte di dimensione infinita asserisce che, fissata una varietà, ogni sottovarietà ha un intorno diffeomorfo al suo fibrato normale (nel caso Riemanniano) o ad un intorno della sezione nulla di tale fibrato, nel caso Banach. In quest’ultimo ambito più generale, quando cioè non si disponga di una metrica e dunque di una buona nozione di fibrato normale, una comoda alternativa per dimostrare l’esistenza degli intorni tubolari è fornita dalla nozione di spray 1 . Precisamente, come accenneremo nella dimostrazione del teorema D.9, dato uno spray su una varietà di Banach M si può costruire un intorno tubolare di una sottovarietà chiusa N di M facendo uso della mappa esponenziale determinata dallo spray (cfr. sezione F.4). In particolare, quando lo spray è Riemanniano e M ammette partizioni dell’unità allora si può sempre costruire un intorno tubolare totale (cfr. osservazione D.10). Il teorema di esistenza dell’intorno tubolare nel caso Riemanniano è il seguente: Teorema D.8. Sia N una sottovarietà chiusa di una varietà Riemanniana M. Allora esiste un intorno tubolare di N in M. 1 Riportiamo nell’appendice F i risultati fondamentali a riguardo, rimandando per un’esposizione più dettagliata a [Lan 01]. ζ RAUL TOZZI ι f U
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Prefazione L’obiettivo principale
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2.1 Introduzione 21 (v) se F = {O}
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