Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.1 Introduzione 21
(v) se F = {O} allora |P | End(H) = 1, e se F = H allora |Q| End(H) = 1.
Gli operatori P , Q sono detti proiettori ortogonali su F e su F ⊥ rispettivamente.
Osservazione 2.10. In particolare, consideriamo il caso in cui nel teorema 2.9 sia F := Hn, P := πn
e Q := π n . I proiettori ortogonali πn : H → Hn e π n : H → H n soddisfano la relazione πn + π n = I.
Inoltre, per ogni n in N + , per il teorema delle proiezioni risulta |πn | = 1 = |π n |.
2.1.1 La categoria Layer
Definizione 2.11. Sia M una varietà ed H uno spazio vettoriale. Una applicazione α: M → H
sarà detta localmente di rango finito se ogni punto p in M ammette un intorno Up per cui α(Up)
sia contenuto in un sottospazio di dimensione finita di H.
Osservazione 2.12. Se α: M → H di classe C 1 è localmente di rango finito allora la funzione che
ad ogni punto p in M associa il numero intero (positivo) dim rk dα p è localmente limitata.
Definizione 2.13. Siano H uno spazio di Hilbert e U ⊂ H un sottoinsieme aperto. Indicata con
I in End(H) l’applicazione identica, una mappa G: U ⊂ H → H è detta di tipo L(I) se è una
perturbazione di rango localmente finito di I, i.e. se G ammette una decomposizione della forma
G = I + α in cui α: U → H è una applicazione localmente di rango finito. Inoltre, diremo che G è
di tipo Ln(I) se α := (G − I) assume i propri valori in Hn.
Più in generale, se H1, H2 sono spazi di Hilbert e A è un elemento dello spazio L(H1, H2),
una applicazione (in generale non lineare) G: U ⊂ H1 → H2 sarà detta di tipo L(A) se è una
perturbazione di rango localmente finito di A.
Definizione 2.14 (Varietà layer). Sia M una varietà modellata su uno spazio di Hilbert H. Un
atlante layer su M è un atlante {(Ui, ϕi)} i su M tale che, ogni volta che la composizione è definita,
il cambiamento di carta ϕj ◦ ϕ −1
i è una applicazione di tipo L(I). Una varietà con un atlante layer
sarà detta una varietà layer ed in tal caso le relative carte saranno dette carte layer.
Data una H-varietà M dimostreremo nel seguito l’esistenza di un particolare atlante layer su
M associato ad una mappa f : M → H Fredholm di indice zero. La costruzione di un tale atlante
–detto layer forte– sarà approntata nella dimostrazione della proposizione 2.44. In particolare, per
il seguito possiamo assumere l’esistenza di una struttura layer su M nel senso della definizione 2.14.
Definizione 2.15 (Morfismo layer). Una mappa tra varietà layer M ed N modellate su uno
stesso spazio di Hilbert H è detta una applicazione di tipo L(I) se è rappresentata come una
applicazione di tipo L(I) nelle carte layer di M ed N.
Più in generale, una mappa tra varietà layer M ed N sarà detta un morfismo di tipo L(A) o,
più semplicemente, un morfismo layer se è rappresentata come una L(A)-mappa nelle carte layer
di M ed N.
La collezione delle varietà layer e dei morfismi layer costituisce una categoria. Introduciamo
altre due definizioni che si riveleranno particolarmente utili nella parte finale di questo capitolo
(sezioni 2.6 e 2.7), quando dimostreremo l’annunciato teorema di embedding aperto.
Definizione 2.16. Siano H uno spazio di Hilbert di dimensione infinita, ed X1, X2 spazi topologici.
Un morfismo di fibrati τ : X1 × H → X2 × H sarà detto un morfismo di fibrati di tipo L(I)
(brevemente un L(I)-morfismo di fibrati) se (i) τ è della forma
(x, v) ↦−→ τ 0(x), v + α(x)[v] ,
in cui, per ogni x in X1, α(x) è un elemento di End(H), ed inoltre (ii) esiste un ricoprimento aperto
{Ui}i∈I di X1 ed una collezione {Fi} i∈I di sottospazi di H di dimensione finita tale che
(∀ i ∈ I) ∀ (x, v) ∈ Ui × H
α(x)[v] ∈ Fi.
RAUL TOZZI