Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.5 Filtrazioni di Fredholm augmentate 47
ove, si ricordi, Tmi
Mmi × 1 2r | H
Mmi
mi
è l’immagine diffeomorfa di Mmi × 1 2r | H
Mmi
mi mediante
Tmi . Poniamo j = j(i′ ) ed εi := d(yi, Hmi ), in cui la distanza è calcolata nella carta (ϕj, Wj), i.e.
( 17 )
d(yi, Hmi) = d
ϕj(yi), Hmi = inf d ϕj(yi), p
: p ∈ Hmi .
Posto n := n(Du) = min{m ∈ N : Du ∩ Mm = ∅}, Tn è definito su Yn × Hn , ove, si ricordi,
Yn :=
r∈N {Wr : Wr∩Mn = ∅}. Ora Du∩Mn = ∅, inoltre Du ⊂ Wj, dunque Wj∩Mn
= ∅, quindi
Wj ⊂ Yn. Siccome yi ∈ Du ⊂ Wj, è ben definito ϕj ◦ Tn(yi, O), inoltre ϕj Tn(yi, O) = ϕj(yi),
dunque ϕj(yi) appartiene all’immagine di ϕj ◦ Tn.
Dalla dimostrazione della proposizione 2.63, se ui è un indice per cui xi ∈ Dui , allora risulta che
Tn(xi, vi) ∈ Ct(ui), e quindi (cfr. dim. proposizione 2.63) xi ∈ As ⊂ Wj, in cui l’ultima inclusione
segue da (2.5.11).
Siccome mi → ∞, per ogni i possiamo supporre che mi n. Sia (xi, vi)∈Du × Hmi ⊂ Du × Hn con ϕj(xi)∈Hmi e |vi |= 1 2 r(xi) per cui,
ϕj
Tn(xi, vi) ∈Hmi =⇒ d ϕj(yi), ϕj(Tn(xi, vi)) 0, quando invece 1 2 r(xi) = |vi | → 0, , e la
dimostrazione è conclusa.
Siamo pronti per enunciare e dimostrare il teorema principale di questa sezione:
Teorema 2.65. Sia (Mn)n≥0 una filtrazione di Fredholm di M. Allora esistono famiglie Z0
n
e
Zn
n≥0 di intorni aperti standard degli Mn tali che
(1) per ogni n ≥ 1, Z 0 n−1 ⊂ Z 0 n ⊂ Z 0 n ⊂ Zn ⊂ Zn+1,
(2) M =
n∈N
Z 0 n.
Dimostrazione. Sia (Um)m≥0 la famiglia definita da r/2 come nella proposizione 2.63:
Mm × 1 2r | H
Mm
m
∼ = Tm Mm × 1 2r | Mm
e (U 0 m)m≥0 la famiglia definita da r/4:
Mm × 1 4r | H
Mm
m
∼ = Tm Mm × 1 4r | Mm
H m
H m
Mm ⊂ Um := Tm
Mm × 1 2 r | Mm
H m ⊂ M,
Mm ⊂ U 0
m := Tm Mm × 1 4r | H
Mm
m ⊂ M.
17 (∀ i) yi ∈ Du ⊂ W j(i ′ ) = Wj, dunque per ogni i in N è ben definito ϕj(yi). Inoltre, per ogni p in Hm i
d(ϕj(yi), p) è la lunghezza del segmento di retta avente estremi in ϕj(yi) ed in p. Chiaramente, se ϕj(yi) ∈ Hmi allora d(ϕj(yi), Hmi ) = 0.
18limi→∞ εi = limi→∞ d(ϕj(yi), Hmi ) = limi→∞ d(ϕj(x), H∞) = 0, infatti H∞ :=
n∈N
Hn è denso in H.
19Si noti l’abuso di notazione per cui abbiamo tacitamente identificato i punti della varietà con i corrispondenti
punti del modello, via la carta locale.
RAUL TOZZI
n≥0