Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

96 Intorni tubolari
Notazione 1. Indicheremo con ρ, ρ U , ρ M , ρ N le metriche intrinseche su N, U, M, N associate rispettivamente
a h, g U , g M , g N .
La dimostrazione del lemma seguente –seppure concettualmente elementare– è molto tecnica e
lunga e per questo la ometteremo.
Lemma D.23. La metrica Riemanniana h definita da D.6.5 è completa, equivalentemente (N, ρ)
è uno spazio metrico completo.
Definizione D.24. Sia M una sottovarietà di una varietà Riemanniana N. Diremo che M è
totalmente geodetica se M è chiusa e se ogni geodetica in N con condizioni iniziali in (M, T M) è
contenuta in M.
È un fatto ben noto che ogni geodetica in M è anche una geodetica in N.
Osservazione D.25. La struttura Riemanniana h su U2 (ristretta da N) è isometrica alla struttura
Riemanniana prodotto sul disco fibrato banale X × 2H. Infatti, se |ξ | < 2 allora f1 ≡ 1 e f2 ≡ 0,
quindi (cfr. equazione D.6.5) h ≡ g U e (U2, h) = (U2, g U ); d’altra parte U2 = ϕ(M × 2H) e
quindi effettivamente
g U := dϕ(g M × g H),
M × 2H, gM × g ∼=ϕ,
2H dϕ (U2, gU ) = (U2, h).
Proposizione D.26. La struttura Riemanniana h su N rende M una sottovarietà totalmente
geodetica.
Dimostrazione. Sia σ una geodetica in N con condizioni iniziali σ(0), . σ(0) in (M, T M).
Dall’osservazione D.25 sappiamo che (U2, h) è isometrica a
M ×2H, gM ×g2H , inoltre M ⊂ U2.
Sia q = q(t) l’unica geodetica in
M ×2H, gM ×g2H uscente da (σ(0), 0) ∈ M ×{0} e diretta lungo
( . σ(0), O) ∈ T M × {O}. Dimostreremo che la geodetica q è della forma q(t) = (q1(t), 0) ∈ M × {0},
da cui, in virtù della sopra citata isometria, t ↦→ q1(t) risulterà una geodetica in (U2, h) uscente da
σ(0) nella direzione . σ(0). Per unicità risulterà quindi σ = q1: in particolare σ sarà contenuta in
M, e M sarà totalmente geodetica.
Sia p l’unica geodetica in (M, gM ) uscente da σ(0) nella direzione . σ(0). Posto r := (p, 0),
r è una curva in M × {0} uscente dal punto (σ(0), 0) nella direzione ( . σ(0), O). In particolare
r è una geodetica in M × 2H rispetto alla struttura Riemanniana prodotto gM × g2H , infatti
essa ha la proprietà di minimizzare la distanza tra punti sufficientemente vicini (ogni curva che
connetta due punti vicini del cammino p(t), 0 e che esca da M × {0} avrebbe necessariamente
lunghezza maggiore, a causa delle componenti in H della sua derivata). Dunque, per unicità,
q = r = (p, 0) = (σ, 0).
Costruzione 2. Per ogni n in N, supponiamo che Mn sia una varietà di Hilbert separabile di classe
C ∞ embedded come sottovarietà chiusa di classe C ∞ di Mn+1, tale che il fibrato normale di Mn in
Mn+1 sia banale. Eruditi dal corollario 1.5 pag. 2, dotiamo ognuna delle sottovarietà Mn con una
struttura Riemanniana completa.
Sia F0 il modello di M0 e, per ogni n ≥ 1, denotiamo con Fn la fibra costante del fibrato normale
di Mn−1 in Mn. Per ogni n in N + , Fn è uno spazio vettoriale Hilbertabile: dotiamo ognuno di essi
con una fissata forma bilineare simmetrica definita positiva.
Nel seguito utilizzeremo induttivamente la costruzione che ci ha portato alla definizione D.6.5
di una nuova metrica Riemanniana h su N a partire dalle metriche g M su M ⊂ N, g N su N, e g H
sulla fibra costante H del fibrato normale di M in N. Se g0 (g M ) è la data metrica Riemanniana
completa su M0 (M), sfruttando l’assegnata metrica Riemanniana completa su M1 (g N su N) e il
prodotto scalare definito positivo su F1 (g H su H) definiamo come in (D.6.5) una metrica completa
(cfr. lemma D.23) g1 (h) su M1. Similmente, data g1 su M1, costruiamo g2 su M2 sfruttando g1 e
le assegnate strutture su M2 e F2.
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA