Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.3 Filtrazioni di Fredholm 33
Nella parte introduttiva della tesi, precisamente nella sezione 1.5, si è parlato del teorema di
Bessaga, teorema che si dimostra nella generalità degli spazi di Hilbert. D’altra parte, i remarks
all’articolo originale [Be 66] suggeriscono se non la possibilità di estendere questo teorema alla
generalità degli spazi di Banach almeno la possibilità di estendere alcune costruzione intermedie
utili per dimostrare il teorema di Bessaga, come osservato nella sottosezione 1.5.2. Scopo di questa
osservazione è sfruttare queste generalizzazioni per dimostrare il teorema 2.33 nel caso di varietà
modellate su uno spazio di Banach reale E di dimensione infinita, dotato di una base di Schauder
(ei) e di partizioni dell’unità di classe C∞ .
Sia M una varietà modellata su uno spazio di Banach siffatto E ed f1 : M → E una mappa
Fredholm di indice zero (cfr. osservazione 2.25) che può essere assunta propria (in virtù del
corollario 2.30) ma non surgettiva7 .
L’immagine f1(M) E è un chiuso per la proposizione E.7; dunque E \ f1(M) è un aperto non
ridotto al vuoto. Sia B ⊂ E \ f1(M) una palla aperta avente centro in un punto p. Indichiamo con
S il bordo di B. In virtù della proposizione 1.31 che generalizza un risultato di Bessaga agli spazi
di Banach, esiste un diffeomorfismo di classe Cr φ: E ↠ E \ {p}. Sia j un’inversione di centro
p costruita come nel teorema 1.32, che lascia fissa la sfera S e scambia l’interno e l’esterno di S.
Consideriamo l’applicazione
f2 : def
= φ −1 ◦ j ◦ φ ◦ f1.
Si verifica che f 2 : M → E è l’applicazione cercata, Fredholm di indice zero, limitata e propria.
Infine, indicato con En = Span{e1, . . . , en}, si può ripetere lo stesso argomento utile per dimostrare
il corollario 2.34, modificando f 2 con una piccola traslazione per ottenere una mappa che sia in più
trasversa ad En per ogni n.
2.3 Filtrazioni di Fredholm
Il seguente teorema è il primo passo di cruciale importanza per molte delle costruzioni che verranno
presentate nel seguito, inoltre, insieme alle costruzioni di cui nella sezione precedente, rende rigoroso
quanto avevamo anticipato subito dopo la definizione 2.18, ove avevamo introdotto la nozione di
filtrazione.
Teorema 2.38 (K.K. Mukherjea-Quinn). Sia f : M → H una mappa di classe C ∞ , Fredholm
di indice zero, trasversa a Hn per ogni n in N. Posto per ogni n in N Mn = f −1 (Hn), la successione
(Mn)n∈N è una filtrazione di M. Precisamente:
(i) Mn ⊂ Mn+1, Mn è chiusa, dim Mn = n.
(ii) Il fibrato normale di Mn in M, N (Mn) → Mn ( 8 ), è naturalmente isomorfo al pull-back
tramite f del fibrato normale di Hn in H ( 9 ):
N (Mn) = f ∗ N (Hn) ;
specificatamente, in ogni punto x di Mn il differenziale di f induce un isomorfismo tra le
corrispondenti fibre dei due fibrati normali: (TxMn) ⊥ (TxMn) ⊥ (TxMn) ⊥ ∼ = TxM/TxMn ∼ ∼=dfx
∼=dfx =dfx H/Hn ∼ = Hn = H⊥ n H⊥ Hn ⊥ n .
(iii) M∞ :=
n∈N Mn è un denso di M.
Dimostrazione. Chiaramente, da Hn ⊂ Hn+1 segue che, per ogni n in N, Mn ⊂ Mn+1. Inoltre
il sottoinsieme Mn è un chiuso di M perché Hn è chiuso in H ed f è di classe C ∞ , dunque in
7 Infatti la composizione di applicazioni proprie è propria, e la composizione di mappe Fredholm di indice zero
è Fredholm di indice zero: dunque possiamo considerare come f1 la mappa prodotto di composizione della mappa
fornita dal corollario 2.30 e della mappa della proposizione G.31 di piega in dimensione infinita.
8 Si ricordi che N (Mn) =
p∈Mn Np(Mn), ove Np(Mn) = TpM/TpMn ∼ = (TpMn) ⊥ .
9 il fibrato normale di Hn in H, N (Hn) → Hn, è il fibrato banale su Hn la cui fibra costante è H/Hn ∼ = H n = H ⊥ n .
RAUL TOZZI