Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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82 Geometria differenziale in dimensione infinita Ricordando il teorema C.42 sull’esistenza di partizioni dell’unità, consideriamo la seguente proposizione: Proposizione C.51. Sia M una varietà che ammetta partizioni dell’unità, e π : X → M un fibrato vettoriale le cui fibre siano spazi vettoriali Hilbertabili. Allora π ammette una metrica Riemanniana. Dimostrazione. Senza ledere la generalità, supponiamo che M sia connessa, in modo tale che ogni fibra Xp di X possa essere assunta toplinear-isomorfa ad un fissato spazio di Hilbert E. Sia {Ui, ϕi} una partizione dell’unità tale che π ristretto a Ui sia banale, esista cioè per ogni i una banalizzazione locale τi : π −1 (Ui) → Ui × E. Si consideri adesso una metrica Riemanniana su Ui × E e si determini per trasporto della struttura una metrica Riemanniana gi su π −1 (Ui). Posta g := ϕi gi, una verifica standard mostra che g è una metrica Riemanniana su X. In particolare, se applichiamo il risultato espresso dalla proposizione C.51 al fibrato tangente T M si ottiene una metrica Riemanniana g su di esso. In questo caso diremo anche che g è una metrica Riemanniana su M. Definizione C.52. Sia (M, g) una varietà Riemanniana. Definiamo la lunghezza Lg(σ) di una curva di classe C1 σ : [a, b] → M mediante Lg(σ) : def = b a .σ(t), . 1/2 gσ(t) σ(t) dt = b a |σ(t)|g dt. (C.4.1) Chiaramente possiamo estendere la nozione di lunghezza a tutte le curve C 1 a tratti, prendendo la somma delle lunghezze dei tratti lungo cui la curva è di classe C 1 . La metrica intrinseca ρ M su M associata a g è definita da ρM (x, y) : def = inf Lg(σ) : σ(a) = x, σ(b) = y . (C.4.2) Diremo che g è una metrica Riemanniana completa se M è uno spazio metrico completo rispetto alla metrica ρ. Dal corollario 1.5 pag. 2 sappiamo che ogni varietà a base numerabile modellata su uno spazio di Hilbert separabile ammette una metrica Riemanniana completa. Osservazione C.53. Se M è una varietà Riemanniana (connessa) completa di dimensione finita, allora, per il teorema di Hopf-Rinow ogni coppia di punti di M può essere collegata da una geodetica minimizzante. Per le varietà di dimensione infinita questo teorema non è più vero, come è evidenziato dai seguenti controesempi. Controesempio C.54. Sia H uno spazio di Hilbert reale separabile di dimensione infinita. Indicata con (en)n≥0 una sua base ortonormale, sia T : H → H l’operatore definito da T xnen = anxnen, in cui a0 = 1 e, per ogni n ≥ 1, an = 1 + 1/2n . Si noti che T è un operatore lineare iniettivo e che |x| ≤ T x ≤ 3 2 |x|, dunque T è un diffeomorfismo di H su H. Indicata con S la sfera unitaria di H, X := T (S) è una sottovarietà chiusa di H. Dotiamo X della metrica indotta da H. Sia σ una curva in S da e0 a −e0. Allora T σ è una curva in X da e0 a −e0, inoltre L T σ ≥ L(σ). Quindi la lunghezza di una qualsiasi curva in X che collega e0 a −e0 è maggiore o al più eguale di π, ossia la minima lunghezza delle curve in S che collegano i punti e0 e −e0. D’altra parte, se indichiamo con σn l’arco di cerchio massimo che collega i punti e0 e −e0 nel semispazio positivo generato da e0 ed en, allora, nella notazione introdotta in (C.4.2) L n T σn < 1 + 1/2 π −−−−−→ n→+∞ π = ρX(e0, −e0). Si conclude che non esiste alcuna curva minimizzante che collega in X i punti e0 e −e0. IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
C.4 Varietà Riemanniane 83 Controesempio C.55 (Atkin [Atk 75]). Esiste una varietà Riemanniana M di classe C ∞ , connessa, completa, di dimensione infinita e punti x, y in M per cui non esista alcuna geodetica da x a y. RAUL TOZZI
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Università degli Studi di Pisa Fac
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Prefazione L’obiettivo principale
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S 1 , che certamente non ammette un
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Notazioni Notazioni di uso corrente
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2 Fenomeni della dimensione infinit
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10 Fenomeni della dimensione infini
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Capitolo 2 Embedding aperti di vari
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2.1 Introduzione 21 (v) se F = {O}
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2.1 Introduzione 23 applicazione ξ
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