Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

Appendice E
Mappe di Fredholm: teoria non
lineare
Definizione E.1 (Smale, 1964). Se M ed N sono varietà di Banach, una mappa f : M → N di
classe C 1 è detta di Fredholm se per ogni p ∈ M, dfp : TpM → T f(p)N è Fredholm lineare.
Osservazione E.2. Se M è connessa, allora ind dfp è indipendente da p (cfr. [Sm 65]) ed è possibile
definire l’indice di Fredholm di f ponendo
ind f := ind dfp = dim ker dfp − dim coker dfp. (E.0.1)
Specificatamente, f : M → N è una mappa Fredholm di indice zero (in breve, f è una Φ0mappa)
se per ogni p ∈ M il differenziale dfp : TpM → T f(p)N è Fredholm lineare di indice zero,
i.e., (cfr. osservazione B.1)
dim ker dfp = dim coker dfp < ∞,
ove, si ricordi, coker dfp : def
= Tf(p)N/rk dfp.
Nel seguito proveremo che le mappe di Fredholm sono localmente proprie, cfr. teorema E.10.
Ricordiamo intanto alcuni fatti riguardanti le mappe proprie, utili per la parte centrale della tesi.
Per una trattazione esauriente si faccia riferimento a [Bou3 89], Capitolo 1, Sezione 10.
Definizione E.3. Una applicazione continua tra spazi topologici X e Y , f : X → Y , è detta
propria se, per ogni sottoinsieme compatto K ⊂ Y , l’immagine inversa f −1 (K) è un sottoinsieme
compatto di X. Equivalentemente, una mappa continua f : X → Y è propria se, data comunque
una successione (xn) di punti di X che abbandona i compatti di X, (f(xn)) abbandona i compatti
di Y (diremo che una successione (xn) di punti di uno spazio topologico X abbandona i compatti
di X se, per ogni sottoinsieme compatto K ⊂ X, solo un numero finito di punti di {xn} appartiene
a K).
Definizione E.4. Una mappa f : X → Y è detta aperta (rispettivamente chiusa) se l’immagine di
ciascun insieme aperto (risp. chiuso) in X è aperto (risp. chiuso) in Y .
Osservazione E.5. Chiaramente, ogni applicazione continua da uno spazio topologico compatto a
valori in uno spazio di Hausdorff è propria e chiusa.
Osservazione E.6. Siano X uno spazio topologico di Hausdorff e (xh) una successione convergente
a x in X. Allora l’insieme {xh}h∈N ∪ {x} è compatto.
Proposizione E.7. Siano X e Y spazi metrici. Se f : X → Y è una applicazione continua propria
allora f è chiusa.
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