Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.7 Prova del teorema di embedding aperto 53
Definizione 2.72. Dato uno spazio topologico Y consideriamo il fibrato banale Y × H. Un
isomorfismo di fibrati vettoriali
β : Y × H → Y × H
sarà detto layer forte se è della forma β(y, v) = y, v + α(y, v) , in cui α: Y × H → H è una
applicazione di rango finito.
Definizione 2.73. In particolare, una isotopia di isomorfismi di fibrati vettoriali
β : R × Y × H → R × Y × H
sarà detta una isotopia layer forte se, per ogni t, l’isomorfismo di fibrati βt : Y × H → Y × H è
layer forte.
Osservazione 2.74. Se M è una varietà Hilbertiana, per il teorema di Kuiper esiste una banalizzazione
globale per il fibrato tangente ad M, altrimenti, nel caso in cui M sia una varietà di Banach
richiederemo nel seguito che M sia parallelizzabile. In ogni caso, indicata con τ : T M → M × H
una tale banalizzazione globale, poiché M è equipaggiata di un atlante layer forte (cfr. proposizione
2.41), possiamo supporre che τ sia una banalizzazione layer, i.e. un isomorfismo di fibrati
vettoriali di tipo L(I), in accordo con la definizione 2.16.
Indicata con ιn : Mn ↩→ M l’inclusione di Mn in M, nella prossima sezione considereremo
l’isomorfismo
τn : T M n ⊕ H n → M n × H
definito tramite τ da
τn(x, v1, v2) : def
= x, τ d(in) x[v1] + Sn(x, v2) . (2.6.9)
2.7 Prova del teorema di embedding aperto
In questa ultima sezione completeremo la dimostrazione del teorema di embedding aperto, precisamente,
immergeremo con un embedding aperto ogni intorno tubolare Zn di Mn nel modello H della
varietà ambiente M; inoltre, siccome per ogni n, Zn ⊂ Zn+1, costruiremo detti embedding in modo
che (∀ n) l’embedding di Zn in H si estenda all’embedding di Zn+1 in H. Ciò sarà reso possibile
da un importante lemma (cfr. lemma 2.76) che permetterà di adattare opportunamente i domini
delle varie mappe via i teoremi di isotopia introdotti nelle sezioni precedenti ed i teoremi di isotopia
ambientale della teoria classica in dimensione finita (cfr. [Hir 94], Capitolo 8). In un certo senso il
lemma 2.76 è il risultato fondamentale di questa sezione.
Nelle ipotesi e nelle notazioni precedentemente introdotte (si consultino i diagrammi (2.6.5) e
(2.6.8) per avere un riassunto di tutti gli oggetti ed i morfismi che abbiamo introdotto fino a questo
punto) enunciamo la seguente proposizione:
Proposizione 2.75. Per ogni n in N esiste un embedding aperto gn : Mn × H n → H ed un intero
¯n ∈ N per cui:
(a) gn| D 0 n
= gn+1 ◦ ℓn| D 0 ;
n
(b) gn : Mn × H n → H¯n × H ¯n è della forma gn(x, v) = ¯gn(x, v), π ¯n (v) , in cui si è indicata con
¯gn : Mn × H n → H¯n la composizione π¯n ◦ gn;
(c) esiste una isotopia layer forte βn : R × Mn × H → R × Mn × H tale che
(i) βn,0 = idMn×H,
(ii) βn,1 ◦ (dgn)| T (Mn×H n )Mn×{O} : (x, w, e) ∈ T Mn ×H n
↦→ βn,1 x, d(gn) (x,O) (w, e) ∈ Mn ×H
coincide identicamente con τn;
(d) gn(Mn × rH n ) ⊂ H è un sottoinsieme limitato.
Dimostrazione. La dimostrazione procede per induzione su n.
RAUL TOZZI