Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

D.5 Unicità ed estensione degli intorni tubolari 89
Osservazione D.10. Se un fibrato vettoriale π : X → M è comprimibile (cfr. definizione D.2) e se si
dispone di un intorno tubolare definito su V (V è il tubo dell’intorno tubolare, cfr. definizione D.6),
allora chiaramente si può ottenere un intorno tubolare totale definito su X:
π |V
N
V
ζ
ι
f
U
N
❀ π
In particolare, in virtù del corollario D.5, gli intorni tubolari Hilbertiani (cfr. definizione D.7) di
una sottovarietà di una assegnata varietà che ammetta partizioni dell’unità sono totali.
X ζ
ι
f ◦ ϕ
D.5 Unicità ed estensione degli intorni tubolari
Definizione D.11. Date varietà M e N, una isotopia di embedding è un embedding
tale che, per ogni t in R, F è della forma
F : R × M → R × N
U
F (t, · ) = t, Ft(·) , (D.5.1)
in cui Ft : M → N è un embedding. Se una mappa soddisfa la proprietà D.5.1 diremo brevemente
che essa preserva i livelli. Se t0 < t1 sono numeri reali, diremo che [t0, t1] è un dominio proprio per
F se Ft = Ft0 per ogni t ≤ t0 e Ft1 = Ft per ogni t ≥ t1.
Diremo che due embedding f, g : M → N sono isotopi e scriveremo f ≈ g se esiste una isotopia
di embedding F : R × M → R × N tale che, nelle notazioni precedentemente introdotte, f = Ft0 e
g = Ft1 .
Osservazione D.12. Componendo con traslazioni e moltiplicazioni per scalari è sempre possibile
trasformare una assegnata isotopia in una nuova isotopia il cui dominio proprio sia contenuto
nell’intervallo (0, 1). Inoltre, è immediato verificare che la relazione di isotopia tra embedding è di
equivalenza.
Osservazione D.13. Se s0 < s1 sono due numeri reali e σ : R → R è una funzione monotona crescente
tale che σ(s) = t0 per s ≤ s0 e σ(s) = t1 per s ≥ s1, allora, a partire da una isotopia Ft possiamo
ottenere una nuova isotopia ponendo Gt := F σ(t).
Una siffatta funzione σ può essere usata anche per ottenere una isotopia di classe C ∞ definita
su tutto R a partire da una isotopia definita su un intervallo chiuso proprio di R.
Osservazione D.14. Se ft : X → Y è una isotopia, e se g : X1 → X e h: Y → Y1 sono due embedding,
allora il prodotto di composizione
h ◦ ft ◦ g : X1 → Y1
è ancora una isotopia.
Definizione D.15. Sia M una varietà ed N una sottovarietà. Sia π : X → N un fibrato vettoriale
e Z un intorno aperto della sezione nulla. Una isotopia di embedding aperti F : R × Z → M tale
che, per ogni t, Ft : Z → M è un intorno tubolare di N è detta una isotopia di intorni tubolari.
D.5.1 Unicità degli intorni tubolari
Proposizione D.16. Su una varietà M consideriamo i fibrati vettoriali π : X → M e π1 : X1 → M.
Identifichiamo M con la corrispondente sezione nulla ζ X1 M di π1 in X1 e consideriamo un intorno
tubolare di M in X1:
f : X → X1.
RAUL TOZZI