Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.4 Filtrazioni di Fredholm totalmente geodetiche 37
Passo 3. Esiste un raffinamento dell’atlante di cui al passo precedente che soddisfa anche la
condizione (ii).
Dimostrazione. Scegliamo raffinamenti (Vi)i≥1 e (Wj)j≥1 del ricoprimento (Ui)i≥1 come nel lemma
A.10: sia dunque (Vi)i≥1 un raffinamento shrunk di (Ui)i≥1 e (Wj)j≥1 un raffinamento star-finito
di (Vi)i≥1 tale che
Wj ⊂ V i(j) ⇒ St(Wj) ⊂ U i(j).
Definiamo ϕj : Wj → H mediante ϕj := θi(j)|Wj . Dunque {(ϕj, Wj)}j soddisfa ancora (i) e (iii).
Verificheremo che, quando è definita, ϕi ◦ ϕ −1
j è una Ln(Wi)(I)-mappa, e cioè, posto
n(Wi) = min{n ∈ N : Wi ∩ Mn = ∅},
risulta ϕi ◦ ϕ −1
j (x) − I(x) ∈ H n(Wi) per ogni x in ϕj(Wi ∩ Wj).
Supponiamo che Wj ∩ Wj ′ = ∅ e poniamo n(j) := n(Ui(j)) = min{n ∈ N : Ui(j) ∩ Xn = ∅}. È
possibile scegliere αj e αj ′ in modo tale che il seguente diagramma sia commutativo:
ϕj
Wj ∩ Wj ′
ϕ j ′
E
f
E
basta porre infatti αj := f ◦ϕ −1
j −I e αj ′ := f ◦ϕ−1
j ′ −I. Allora αj e αj ′ hanno valori rispettivamente
in H n(j) e H n(j ′ ), infatti, per la proprietà (iii), f ◦ ϕ −1
j (x) − I(x) ∈ H n(j) ed analogamente
f ◦ ϕ −1
j ′ (x) − I(x) ∈ H n(j ′ ). Ora n(j), n(j ′ ) ≤ n(Wj), l’ultima disuguaglianza dovuta al fatto che,
per costruzione, Wj ⊂ St(Wj ′) ⊂ U i(j ′ ).
Si ha che (I + αj)ϕj = (I + αj ′)ϕj ′, da cui ϕj ◦ ϕ −1
j ′ = I + αj ′ − αj(ϕj ◦ ϕ −1
j ′ ) (11 ). Segue
che ϕj ◦ ϕ −1
j ′ è una Ln(Wj)(I)-mappa, infatti, essendo n(j), n(j ′ ) ≤ n(Wj), le immagini di αj e
αj ′ che sono contenute in Hn(j) e Hn(j ′ ) rispettivamente, sono contenute a maggior ragione in
Hn(Wj), per cui da ϕj ◦ ϕ −1
j ′ − I = αj ′ − αj(ϕj ◦ ϕ −1
j ′ ) segue che per ogni x in ϕj ′(Wj ∩ Wj ′)
ϕj ◦ ϕ −1
j ′ (x) − I(x) ∈ Hn(Wj) , e anche la proprietà (ii) è soddisfatta.
Fissata una mappa di classe C ∞ f : M → H Fredholm di indice zero, propria e trasversa ad Hn
per ogni n in N fornita dal corollario 2.34, ed una filtrazione di Fredholm (Mn)n∈N costruita come
nel teorema 2.38 precedente, consideriamo un atlante layer forte {(ϕj, Wj)}j≥1 su M associato ad
f, costruito come nella proposizione 2.44.
Teorema 2.45. Sia {(ϕj, Wj)}j≥1 un atlante layer forte per M. Allora esiste uno spray su M
relativamente al quale tutte le sottovarietà Mn sono totalmente geodetiche. Inoltre, indicato con
Ej ⊂ ϕj(Wj) × H il dominio della mappa esponenziale di detto spray nella carta (ϕj, Wj), l’esponenziale
exp: Ej −→ ϕj(Wj) è della forma (x, v) ↦→ x + v + γj(x, v), in cui γj(x, v) è un elemento
di H n(Wj), ove, si ricordi, n(Wj) = min{n ∈ N : Wj ∩ Mn = ∅}.
Dimostrazione. Si consideri su ciascuna carta (ϕj, Wj) lo spray banale come indicato nella dimostrazione
della proposizione 2.21 e quindi si incolli spray banali siffatti utilizzando una partizione
dell’unità subordinata al ricoprimento {Wj}j≥1. Per la proprietà (iii) ′ della definizione 2.41 di atlante
layer forte si ha che ϕj(Wj ∩ M n(Wj)) = H n(Wj), quindi, su ogni carta (ϕj, Wj) la parte
quadratica dello spray globale così costruito ha immagine contenuta in H n(Wj). Il teorema è quindi
dimostrato invocando la proposizione 2.22, dalla cui prova segue che la mappa esponenziale è della
forma richiesta e che le sottovarietà Mn sono totalmente geodetiche.
11Infatti (I + αj)ϕj = (I + αj ′ )ϕj ′ implica (I + αj)ϕj ◦ ϕ −1
j ′
ϕj ◦ ϕ −1
j ′ = (I + αj ′ ) − αj ◦ ϕj ◦ ϕ −1
j ′ .
RAUL TOZZI
I+αj
E
I+α j ′
= (I + α j ′ )ϕ j ′ ◦ ϕ −1
j ′
= (I + α j ′ ) se e solo se