Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

40 Embedding aperti di varietà di dimensione infinita
Teorema 2.52 (Estensione di Dugundji). Sia X uno spazio metrico e Y uno spazio vettoriale
topologico localmente convesso. Sia A un sottoinsieme chiuso di X ed F : A → Y una applicazione
continua. Allora F ammette una estensione continua F : X → Y tale che
F (X) ⊂ conv F (A) .
Dimostrazione. Per la dimostrazione si faccia riferimento a [Du 66] IX.6, pag. 188, oppure a [Be 75]
2.3, pag. 58.
Nello scenario delineato da questo risultato, consideriamo il seguente teorema che in un certo
senso ne costituisce una generalizzazione. Esso permetterà di rendere più chiare e semplificare molte
delle costruzioni che verranno affrontate nel seguito.
Teorema 2.53 (Estensione degli omeomorfismi). Siano X, Y spazi topologici paracompatti,
ed E, F sottospazi chiusi di X, Y rispettivamente. Sia f : X → Y una applicazione continua tale
che
EO (i) per ogni x in E, f è un omeomorfismo locale in x, ossia, (∀ x ∈ E) esiste un intorno di x
Ux ⊂ X aperto in X tale che la restrizione di f a Ux è un omeomorfismo con l’immagine
e l’immagine f(Ux) è aperta in Y ;
EO (ii) f|E : E → F è bigettiva (e quindi è un omeomorfismo).
Allora esistono M intorno aperto di E in X ed N intorno aperto di F in Y tale che f|M : M → N
è un omeomorfismo.
Addendum: Gli intorni M ed N possono essere scelti chiusi.
Dimostrazione (Addendum). Poiché X ed Y sono paracompatti, e quindi normali, esistono un
intorno M ′ ⊆ M di E in X, M ′ chiuso in X, ed un intorno N ′ ⊆ N di F in Y , N ′ chiuso in Y ; f è
un omeomorfismo fra M ′′ := M ′ ∩ f −1 (N ′ ) intorno di E chiuso in X e N ′′ := f(M ′′ ) ⊂ N intorno
di F chiuso in Y .
Poiché in letteratura non si è trovata una dimostrazione completa del teorema 2.53, presenteremo
nel seguito una dimostrazione dettagliata:
Dimostrazione. Senza ledere la generalità si può supporre che f sia una mappa aperta. Per la
proprietà EO (i) esiste U, ricoprimento aperto di E, tale che per ogni U in U, f(U) è aperto in Y
e f| U : U → f(U) è un omeomorfismo.
Poiché X è paracompatto, in virtù di un noto teorema dovuto a Stone [Du 66, 8.3, p. 168], esiste
V, raffinamento aperto baricentrico (cfr. def. A.2) del ricoprimento aperto U ∪ {X \ E} di X.
La famiglia di aperti T := {f(V ) \ f(E \ V )}V ∈V ∪ {Y \ F } è un ricoprimento di Y . Infatti se
y ∈ Y si ha che o y ∈ Y \ F ∈ T oppure y = f(x) ∈ F per un x ∈ E; poiché V è un ricoprimento
di E esiste V ∈ V tale che x ∈ V e per EO (ii) f(x) /∈ f(E \ V ), quindi y ∈ f(V ) \ f(E \ V ) ∈ T , e
T è un ricoprimento di Y .
Poiché Y è paracompatto esiste W ricoprimento aperto di Y che raffina T , W localmente finito.
Per ogni W ∈ W tale che W ∩ F = ∅ e per ogni V ∈ V tale che W ⊆ f(V ) \ f(E \ V ), consideriamo
l’insieme
OV,W := V ∩ f −1
W \
W ′ ∈W
W ∩W ′ ∩F =∅
Gli OV,W sono aperti (perché W e quindi anche {W }W ∈W è localmente finita, e unioni di chiusi di
famiglie localmente finite sono chiuse) inoltre costituiscono un ricoprimento di E: se x ∈ E allora
f(x) ∈ F ed esiste un W ∈ W tale che f(x) ∈ W ∩ F = ∅; poiché W raffina T vi è un elemento di
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
W ′
.