Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.6 Raffinamento delle tecniche layer 49
per cui, in definitiva,
x ∈ Int ∩ {Um : qx m n} ∩ Int ∩ {Um : m > qx} = Int ∩ {Um : m n} = Zn.
Osservazione 2.66. Il teorema appena dimostrato conclude il processo di riduzione al caso finito
dimensionale iniziato con la determinazione di una filtrazione di Fredholm (Mn)n (teorema 2.38 di
Mukherjea-Quinn). Per ogni n in N abbiamo determinato intorni tubolari finito dimensionali Zn
di Mn: essi si riveleranno assai utili nel seguito quando dovremo invocare i teoremi di isotopia e di
estensione propri della dimensione finita.
2.6 Raffinamento delle tecniche layer
Nel seguito vorremo immergere con un embedding aperto ogni intorno tubolare Zn di Mn nel
modello H della varietà ambiente M; inoltre, siccome per ogni n, Zn ⊂ Zn+1, sarebbe auspicabile
costruire detti embedding in modo che (∀ n) l’embedding di Zn in H si estenda al corrispondente
embedding di Zn+1 in H. In questo modo, l’effettiva estensione dell’embedding aperto da Zn a
Zn+1 sarà ridotta ad un problema finito dimensionale e sarà trattata in ultima analisi per mezzo
del teorema D.19 di estensione dell’intorno tubolare.
Scopo primario della presente sezione è raffinare le tecniche layer introdotte nella sezione 2.4 ed
ampiamente utilizzate nella sezione 2.5 al fine di sviluppare l’apparato tecnico ed i prerequisiti utili
per porre in essere queste costruzioni ed applicare così il teorema D.19 di estensione dell’intorno
tubolare. Torniamo alla situazione prospettata nella sezione 2.5. Usando la funzione r : M → R +
ottenuta nella proposizione 2.63, posto
Dn : def
= T −1
n (Zn) ∩ Mn × 1 2r | H
Mn
n , (2.6.1)
osserviamo che Dn è un intorno della sezione nulla del fibrato Mn × 1 2r | H
Mn
n .
Si ricordi che nella sezione 2.4 abbiamo avuto cura di rendere la filtrazione di Fredholm (Mn)n
fornita dal teorema di Mukherjea-Quinn una filtrazione totalmente geodetica. Questa proprietà della
filtrazione ci permette in particolare di osservare quanto segue:
Osservazione 2.67. L’insieme Tn
definisce un intorno tubolare aperto Un+1 di
Mn × 1 2r | en+1 Mn
Mn in Mn+1:
Mn ⊂ Tn Mn × 1 2r
| en+1 =: Un+1 = Int(Un+1) ⊂ Mn+1, (2.6.2)
Mn
in particolare, l’ultima inclusione segue dal carattere totalmente geodetico di Mn+1 in M. Infatti:
se (x, v) ∈ Mn × 〈en+1〉 allora Sn è definito su (x, v), infatti Mn × 〈en+1〉 ⊂ Mn × Hn . D’altra
parte, Mn × 〈en+1〉 ⊂ Mn+1 × Hn+1, quindi, per l’osservazione 2.43,
d ϕ −1
j [v] ∈ TxMn+1
ϕj(x)
e perciò Sn(x, v) ∈ TxMn+1. Segue che, in virtù del carattere totalmente geodetico di Mn+1,
Posto per ogni n in N
Dn : def
= T −1
n
Tn+1
allora Dn ⊂ Dn, infatti
Zn = Int
m≥n
Tm
Mn+1 × 1 2 r | Mn+1
Mm × 1 2 r | Mm
Tn(x, v) = exp ◦ Sn(x, v) ∈ Mn+1.
H m
H n+1
∩ Tn Mn × 1 2r | H
Mn
n
∩ Mn × H n , (2.6.3)
⊂ Tn+1
Mn+1 × 1 2 r | Mn+1
RAUL TOZZI
H n+1
∩ Tn Mn × 1 2r | H
Mn
n
,