Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.4 Filtrazioni di Fredholm totalmente geodetiche 35
D’altra parte
Hn ∩ BO(R) =
x ∈ Hn × O n : n
i=1 x2 i ≤ R 2
è un sottoinsieme chiuso e limitato di Hn, spazio vettoriale di dimensione finita, dunque (per il
teorema di Heine-Borel) Hn ∩ BO(R) è un sottoinsieme compatto di Hn, e quindi è un compatto
di H. Segue che, essendo f : M → H una mappa propria, Mn è una sottovarietà compatta.
2.4 Filtrazioni di Fredholm totalmente geodetiche
Fissiamo una mappa di classe C ∞ , Fredholm di indice zero, limitata e propria f : M → H trasversa
ad Hn per ogni n in N, ed una filtrazione di Fredholm (Mn) costruita come nel teorema 2.38
precedente.
Notazione. Se U ⊂ M è un sottoinsieme, indicheremo con n(U) il più piccolo intero n in N tale che
U ∩ Mn = ∅:
n(U) : def
= min n ∈ N : U ∩ Mn = ∅ .
Definizione 2.41 (Atlante layer forte). Un atlante layer-forte per f è un atlante numerabile
{(ϕj, Wj)}j≥1 su M avente le seguenti proprietà:
(i) {Wj}j1 è un ricoprimento numerabile star-finito di M;
(ii) per ogni coppia di indici i, j tali che Wi ∩ Wj = ∅, il cambiamento di coordinate ϕi ◦ ϕ −1
j
una mappa di tipo Ln(Wi)(I) sul suo insieme di definizione, e cioè, scritto
ϕi ◦ ϕ −1
j = ϕi ◦ ϕ −1
j − I + I,
per ogni x in ϕj(Wj ∩ Wi) risulta ϕi ◦ ϕ −1
j (x) − x ∈ H n(Wi);
(iii) f ◦ ϕ −1
j : ϕj(Wj) −→ H è una mappa di tipo L n(Wj)(I), i.e., scritto
f ◦ ϕ −1
j = f ◦ ϕ −1
j − I + I,
per ogni x in ϕj(Wj) risulta f ◦ ϕ −1
j (x) − x ∈ H n(Wj).
Osservazione 2.42. La proprietà (iii) della definizione 2.41 precedente implica la seguente proprietà:
(iii) ′ Per ogni n n(Wj) e per ogni z ∈ H risulta ϕ −1
j (z + Hn) = Wj ∩ f −1 (z + Hn).
Infatti: (⊂) Siano n ≥ n(Wj) e z ∈ H fissati. Sia w in Wj tale che ϕj(w) ∈ z + Hn. Dobbiamo
provare che f(w) ∈ z+Hn. Sia x ∈ Hn tale che ϕj(w) = z+x, i.e., w = ϕ −1
j (z+x). Per la proprietà
(iii), f(w) = f ◦ ϕ −1
j (z + x) = f ◦ ϕ −1
j (z + x) − I(z + x) + z + x ∈ Hn(Wj) + En + z = z + Hn.
(⊃) Siano n ≥ n(Wj) e z ∈ H fissati. Sia w ∈ Wj tale che f(w) ∈ z + Hn; dunque, posto
ϕj(w) = x, si ha che f ◦ ϕ −1
j (x) = f(w) ∈ z + Hn. D’altra parte f ◦ ϕ −1
j (x) = (f ◦ ϕ−1 j (x) − x) + x,
dunque x ∈ z−(f ◦ϕ −1
j (x)−x)+Hn, ed essendo (f ◦ϕ −1
j (x)−x) ∈ H n(Wj) ⊂ Hn, si ha che x ∈ z+Hn.
Dunque w = ϕ −1
j
(x) ∈ ϕ−1
j (z + Hn) e anche l’inclusione “ ⊃ ” è dimostrata.
Osservazione 2.43. Dalla proprietà (iii) ′ stabilita nell’osservazione 2.42, indicata con (Wj, ϕj) una
carta layer-forte per M si ha che per ogni n ≥ n(Wj), ϕj(Wj ∩ Mn) ⊂ Hn, dunque, per ogni
p ∈ Wj ∩ Mn,
o, ciò che è lo stesso, TpMn = d(ϕ −1
j ) ϕj(p)(Hn).
d(ϕj)p TpMn = Tϕj(p)Hn = Hn,
Proposizione 2.44. Sia f : M → H una mappa Fredholm di indice zero trasversa ad Hn per ogni
n ∈ N. Allora esiste un atlante layer forte per f.
Dimostreremo la proposizione 2.44 stabilendo i passi 1 − 3 seguenti:
RAUL TOZZI
è