Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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110 Spray Calcoliamo (T h) ′ (x, v): (T h) ′ (x, v) = ∂h(x) ∂x ∂h ′ (x)(v) ∂x ∂h(x) ∂v ∂h ′ (x)(v) ∂v ′ h (x) 0 = h ′′ (x)(v) h ′ (x) e quindi (T h) ′ ′ h (x) 0 (x, v)(u, w) = h ′′ (x)(v) h ′ u = (x) w h ′ (x)(u), h ′′ (x)(v, u)+h ′ (x)(w) , per cui, in definitiva, sostituendo in (F.3.5) si ottiene T T h (x, v), (u, w) = h(x), h ′ (x)(v), h ′ (x)(u), h ′′ (x)(v, u) + h ′ (x)(w) . (F.3.6) Le rappresentazioni locali s U e s V dello spray sono legate dalla formula F.3.7 seguente (si consideri il seguente circuito commutativo dedotto dal diagramma precedente) (U × E) × (E × E) Id U×E ×s U U × E (T h) ′ T h=(h,h ′ ) E × E s V V × E ′ ′ ′ sV T h(x, v) = sV h(x), h (x)(v) = h (x)(v), sV,2 h(x), h (x)(v) = (T h) ′ x, v; sU (x, v) = (T h) ′ x, v; v, sU,2(x, v) = h ′ (x)(v), h ′′ (x)(v, v) + h ′ (x) ◦ s U,2(x, v) , (F.3.7) da cui si deduce la formula di cambiamento di variabile per la parte quadratica di uno spray: ′ ′′ ′ sV,2 h(x), h (x)(v) = h (x)(v, v) + h (x) ◦ sU,2(x, v) (F.3.8) In particolare, dalla formula F.3.8 di cambiamento di variabile per la parte principale di uno spray, si ottiene la corrispondente legge di trasformazione per il simbolo di Christoffel: ′ ′ ′′ ′ ΓV h(x); h (x)(v), h (x)(w) = −h (x)(v, w) + h (x) ΓU (x; v, w). Si noti che Γ non trasforma come un tensore. Alcune proprietà più fini riguardanti gli spray sono state introdotte nella sottosezione 2.1.3. F.4 La mappa esponenziale di uno spray La condizione SPR 1 che abbiamo considerato per definire uno spray è equivalente ad altre riguardanti le curve integrali dei campi vettoriali del second’ordine F . Elencheremo nel seguito queste condizioni. Se v è un vettore in T M, denoteremo con σv l’unica curva integrale di F con condizione iniziale v (i.e. tale che σv(0) = v): F (σv) = σ ′ v σv(0) = v. Proposizione F.10. Per ogni v in T M la condizione espressa da SPR 1 è equivalente ad una qualunque delle seguenti: SPR 2. La curva σrv è definita in t se e solo se rt appartiene al dominio di σv ed in tal caso σrv(t) = rσv(rt). IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
F.4 La mappa esponenziale di uno spray 111 SPR 3. Se r e t sono numeri, rt appartiene al dominio di σv se e solo se r appartiene al dominio di σtv, ed in tal caso πσtv(r) = πσv(rt). SPR 4. Un numero t appartiene al dominio di σv se e solo se 1 appartiene al dominio di σtv, ed in tal caso πσv(t) = πσtv(1). Considereremo nel seguito ulteriori proprietà delle curve integrali di uno spray. Sia S : T M → T (T M) uno spray su M. Sia E l’insieme dei vettori v in T M tali che σv è definita in un intervallo contenente [0, 1]. Allora E è un sottoinsieme aperto di T M, inoltre la mappa è un morfismo di E ⊂ T M in T M. v ↦→ σv(1) Definizione F.11 (Mappa esponenziale di uno spray). La mappa esponenziale exp: E → M è il morfismo definito da exp(v) = πσv(1). L’insieme E è detto il dominio della mappa esponenziale (associata allo spray S). Se x è un punto della varietà M, indicato con Ox il vettore nullo di TxM, da SPR 1, posto r = 0 si ottiene F (Ox) = 0. Quindi exp(Ox) = π σOx (1) = π(Ox) = x. Denoteremo con exp x la restrizione di exp a Ex := E ∩ TxM. RAUL TOZZI
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