Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

94 Intorni tubolari
D.6 Costruzione di una filtrazione totalmente geodetica
Scopo di questa sezione è costruire una filtrazione totalmente geodetica di una varietà Riemanniana
di dimensione infinita facendo uso esclusivamente delle nozioni e delle metodologie introdotte
in questa e nelle precedenti appendici, in particolare senza ricorrere alla nozione di spray (cfr. appendice
F).
Sia (M, g) una varietà Riemanniana di classe C ∞ (modellata su uno spazio di Hilbert H0 di
dimensione finita o infinita). Fissato x in M, il prodotto scalare su TxM è gx, quindi se ξ ed η sono
vettori in TxM, il loro prodotto scalare è gx(ξ, η). Sia B la palla unitaria aperta di uno spazio di
Hilbert H1, con prodotto scalare 〈·, ··〉. Allora M × B è ancora una varietà Riemanniana di classe
C ∞ , precisamente, se (x, y) ∈ M × B e (ξ, λ), (η, µ) ∈ T (x,y)(M × B) = TxM × TyB, il prodotto
scalare di (ξ, λ) e di (η, µ) è
g x(ξ, η) + 〈λ, µ〉.
Lemma D.21. Siano M e N varietà Hilbertiane di classe C ∞ dotate di metriche Riemanniane
complete g M e g N rispettivamente. Allora il prodotto g M ×g N è una metrica Riemanniana completa
su M × N.
Dimostrazione. Per x in M e y in N c’è una identificazione standard T (x,y)M × N ∼ = TxM ⊕ TyN
(indotta dai differenziali dπM e dπN delle proiezioni canoniche πM e πN di M × N su M e N
rispettivamente).
La struttura Riemanniana prodotto g := gM × gN è definita in modo naturale come
′ ′
g (x,y) (ξ, η), (ξ , η ) = gM (x)(ξ, ξ ′ ) + gN(y)(η, η ′ ).
Si verifica facilmente che g è effettivamente una metrica Riemanniana. Verifichiamo la completezza.
Sia σ : [0, 1] → M × N una curva C 1 a tratti da (x, y) a (x ′ , y ′ ) in M × N. La lunghezza di σ, L(σ),
soddisfa le disuguaglianze
L(σ) ≥ L π M σ , L(σ) ≥ L π N σ . (D.6.1)
Infatti, per ogni 0 ≤ t ≤ 1, se . σ(t0) esiste allora
g .
σ(t0), . σ(t0)
d(πM σ)
= gM (t0),
dt
d(πM
σ)
d(πN σ)
(t0) + gN (t0),
dt
dt
d(πNσ)
(t0)
dt
d(πM σ)
≥ gM (t0),
dt
d(πM
σ)
(t0) .
dt
Analogamente
g . σ(t0), . σ(t0) ≥ g N
d(πNσ)
dt
(t0), d(πN
σ)
(t0) .
dt
Dunque (cfr. equazione C.4.1) le disuguaglianze (D.6.1) sono soddisfatte (i punti in cui non è
definito il vettore tangente sono in numero finito). Segue che la metrica intrinseca ρ associata a g
(cfr. definizione C.4.2) soddisfa la seguente disuguaglianza (ρ M e ρ N denotino rispettivamente le
metriche intrinseche associate a g M e g N ):
ρ (x, y), (x ′ , y ′ ) ≥ max ρ M (x, x ′ ), ρ N(y, y ′ ) .
In particolare, se una successione (xn, yn) è di Cauchy rispetto alla metrica ρ, allora la successione
(xn) è di Cauchy rispetto alla metrica ρ M , dunque è convergente ad un punto x ∗. Analogamente
(yn) è di Cauchy rispetto alla metrica ρN e quindi è convergente a un punto y∗. Segue che
(xn, yn) → (x∗, y∗)
nella topologia prodotto, che coincide con la topologia indotta da ρ. Quindi M × N è uno spazio
completo rispetto alla metrica ρ.
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA