Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

More documents

Recommendations

Info

12 Fenomeni della dimensione infinita 1.5.2 Alcune estensioni nella generalità Banach Nel seguito assumeremo che E sia uno spazio di Banach separabile di dimensione infinita che ammetta partizioni dell’unità di classe C r (r ≥ 1). Non richiederemo inoltre che E ammetta una base. Indicheremo con C r b (E) lo spazio delle funzioni ψ : E → R di classe Cr aventi supporto limitato. Lemma 1.30. Esiste una sottovarietà di classe C r chiusa e limitata T di E di codimensione uno tale che ogni semiretta in E con origine in O interseca T esattamente in un punto. Dimostrazione. Consideriamo l’operatore definito da s: ψ ∈ C b(E) ↦−→ s(ψ): E \ {O} → R [s(ψ)](e) : def = +∞ 1 ψ(te) dt. (1.5.3) Si osservi che, siccome s(ψ) è definito su E \ {O}, dunque in (1.5.3) è e = O, l’integrale a secondo membro è l’integrale di una funzione reale nella variabile reale t (si è ristretto la funzione ψ alla retta Span{e}) la quale per ipotesi ha supporto limitato, quindi, effettivamente, l’integrale esteso a [1, +∞[ di detta funzione è un numero reale finito. Sia ϕ ∈ C r b (E, [0, 1]) tale che ϕ sia identicamente uguale ad 1 in un intorno dell’origine. Allora la restrizione di s(ϕ) ad ogni semiretta aperta di E \ {O} uscente dall’origine è una funzione strettamente decrescente. Dunque s 2 (ϕ) := s s(ϕ) è priva di valori critici degeneri su ognuna di queste semirette, ad eccezione dell’origine, o, ciò che è lo stesso, tutti i punti di (0, ∞) sono valori regolari per la restrizione di s 2 ϕ ad ogni semiretta aperta uscente dall’origine. Consideriamo quindi y ∈ (0, ∞), per esempio y = 1/2, e poniamo T := (s 2 ϕ) −1 (1/2). Allora T soddisfa le proprietà richieste in virtù del teorema C.27 e della proposizione C.29. La seguente proposizione generalizza l’analoga proposizione 1.24 agli spazi di Banach: Proposizione 1.31. Esiste un diffeomorfismo di classe C r , h: (E \ {O}) → E, avente supporto limitato. Teorema 1.32. Esiste una sfera S in E ed una involuzione di classe C r i di E che applica l’esterno di S nella parte interna di S. Il teorema 1.32 segue dalla proposizione 1.31, la cui dimostrazione si trova in [Be 75]. Precisamente, nelle notazioni del lemma 1.30, per ottenere il teorema 1.32 basterà scegliere una sfera S centrata nell’origine di E il cui disco contenga T . La riflessione rispetto a T definisce quindi una involuzione di classe C r j di E \ {O}. Basterà dunque definire i: E → E ponendo i := h ◦ j ◦ h −1 . IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
1.6 Il gruppo generale lineare di uno spazio di Hilbert 13 1.6 Il gruppo generale lineare di uno spazio di Hilbert Se E uno spazio di Banach, denoteremo con End(E) lo spazio vettoriale degli endomorfismi lineari e continui di E con la topologia indotta dalla norma operatoriale. Il gruppo generale lineare di E, GL(E) è il sottospazio topologico di End(E) i cui punti sono gli operatori che ammettono inverso in End(E): GL := GL(E) def = g ∈ End(E) : ∃ g −1 ∈ End(E) . Un elemento h di GL è detto ortogonale (o unitario) se, per ogni x in E, h(x) = |x|: O = O(E) = g ∈ GL : (∀ x ∈ E) g(x) = |x| . Gli elementi unitari di GL costituiscono un sottogruppo, il gruppo delle unità di E. GL è un sottoinsieme aperto di End(E). dunque la serie Supponiamo che B appartenga a End(E) e che |I − B | < 1, S = +∞ n=0 (I − B) n è convergente. Poiché SB = BS = I − (I − B) S = ∞ n=0 (I − B)n − ∞ n=1 (I − B)n = I, segue che {B : |B − I | < 1} ⊂ GL(E). Sia ora A in GL(E) e supponiamo che |A − B | < |A−1 | −1 . Allora |I − BA−1 | = |(A − B)A−1 | < 1. Quindi BA−1 ammette inversa in End(E) data dalla serie +∞ n=0 (I − BA −1 ) n = Segue che B ammette inversa in End(E) data da La formula 1.6.1 mostra che B −1 − A −1 = B −1 = A −1 +∞ A −1 ∞ n=1 n=0 +∞ n=0 (A − B)A −1 n . (A − B)A −1 n . (1.6.1) −1 (A − B)A n ≤ |A−1 | 2 |A − B | 1 − |A−1 ||A − B | . Si conclude quindi che GL è un sottoinsieme aperto di End(E), infatti se GL contiene un operatore A allora contiene la sfera di operatori {B : |B − A| < |A −1 | −1 }. Inoltre l’operatore di inversione I : B ∈ GL ↦−→ B −1 ∈ GL è un omeomorfismo di GL su GL rispetto alla topologia indotta dalla norma operatoriale. Segue che GL è al tempo stesso un gruppo topologico e una varietà differenziabile di dimensione infinita modellata sullo spazio di Banach End(E). Verifichiamo in dettaglio che l’operatore di inversione è una mappa differenziabile su GL. Se A in End(E) è fissato, la traslazione sinistra LA : End(E) → End(E) e la traslazione destra RA : End(E) → End(E) rispettivamente definite da LA(B) = AB e RA(B) = BA sono trasformazioni lineari, e quindi applicazioni differenziabili sul sottoinsieme aperto GL di End(E). Formalmente: (A + tU) d IA(U) = lim t→0 −1 − A−1 t = −A −1 lim ∞ A = lim t→0 −1 ∞ −1 n=0 (A − (A + tU))A n −1 − A t (−t) t→0 n=1 n−1 (UA −1 ) n = −A −1 UA −1 , dunque d IA = −L A −1 ◦ R A −1 e le operazioni di gruppo sono effettivamente applicazioni differenziabili su GL. RAUL TOZZI
Page 1: Università degli Studi di Pisa Fac
Page 5 and 6: Prefazione L’obiettivo principale
Page 7 and 8: S 1 , che certamente non ammette un
Page 9: Notazioni Notazioni di uso corrente
Page 12 and 13: xii INDICE C.2.2 Fibrati Hilbertian
Page 14 and 15: 2 Fenomeni della dimensione infinit
Page 22 and 23: 10 Fenomeni della dimensione infini
Page 31 and 32: Capitolo 2 Embedding aperti di vari
Page 33 and 34: 2.1 Introduzione 21 (v) se F = {O}
Page 35 and 36: 2.1 Introduzione 23 applicazione ξ
Page 37 and 38: 2.2 Mappe di Fredholm di indice zer
Page 45 and 46: 2.3 Filtrazioni di Fredholm 33 Nell
Page 47 and 48: 2.4 Filtrazioni di Fredholm totalme
Page 49 and 50: 2.4 Filtrazioni di Fredholm totalme
Page 51 and 52: 2.5 Filtrazioni di Fredholm augment
Page 61 and 62: 2.6 Raffinamento delle tecniche lay
Page 63 and 64: 2.6 Raffinamento delle tecniche lay
Page 65 and 66: 2.7 Prova del teorema di embedding
Page 73 and 74: Appendice A Propedeuticità topolog
Page 75 and 76:
A.2 Assiomi di numerabilità 63 Lem
Page 77 and 78:
A.3 La categoria di Baire 65 • X
Page 79 and 80:
Appendice B Mappe di Fredholm: teor
Page 81 and 82:
Appendice C Geometria differenziale
Page 83 and 84:
C.1 Varietà di dimensione infinita
Page 85 and 86:
C.1 Varietà di dimensione infinita
Page 87 and 88:
C.2 Fibrati vettoriali 75 FV 3. Per
Page 89 and 90:
C.2 Fibrati vettoriali 77 definita
Page 91 and 92:
C.3 Partizioni dell’unità 79 Chi
Page 93 and 94:
C.4 Varietà Riemanniane 81 Sia τ
Page 95:
C.4 Varietà Riemanniane 83 Controe
Page 98 and 99:
86 Intorni tubolari una sezione di
Page 100 and 101:
88 Intorni tubolari Dimostrazione.
Page 102 and 103:
90 Intorni tubolari Allora esiste u
Page 104 and 105:
92 Intorni tubolari di h(X). Infine
Page 106 and 107:
94 Intorni tubolari D.6 Costruzione
Page 108 and 109:
96 Intorni tubolari Notazione 1. In
Page 110 and 111:
98 Intorni tubolari Osservazione D.
Page 112 and 113:
100 Mappe di Fredholm: teoria non l
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
106 Spray Si osservi che la composi
Page 120 and 121:
108 Spray È immediato verificare d
Page 122 and 123:
110 Spray Calcoliamo (T h) ′ (x,
Page 125 and 126:
Appendice G Analisi funzionale line
Page 127 and 128:
G.1 Richiami di analisi lineare neg
Page 129 and 130:
G.2 Richiami di analisi lineare neg
Page 131 and 132:
G.3 Piega in dimensione infinita 11
Page 133 and 134:
Bibliografia [Abr 62] R. Abraham, L
Page 135 and 136:
BIBLIOGRAFIA 123 [Hir 94] M. Hirsch
Page 137:
BIBLIOGRAFIA 125 [Wa 60] C.T.C. Wal
show all

Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?