Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

4 Fenomeni della dimensione infinita
Definiamo h: X × [0, 1] → X ponendo
h(x, t) def
= x, 1
t g(x)
.
Scriveremo anche ht(x) in luogo di h(x, t). Si osservi che h è una omotopia tra h0, i.e. l’identità di
X, e h1 = (·, g(·)).
Dato x0 in X, sia n in N tale che n > g(x0). Allora h1(x0) = π x0, g(x0) ∈ X ∩ En = Xn.
Questo mostra che h1 applica X in
n Xn = X∞.
Sia ˜ h1 l’applicazione h1 vista come mappa da X a valori nello spazio topologico X∞. Vogliamo
dimostrare che ˜ h1 è continua. Se V è un intorno di x0 tale che n > g(x) per ogni x in V , sarà
sufficiente dimostrare che ˜ h1|V è continua. Ora h1(x) ∈ Xn per ogni x in V , inoltre sappiamo che
h1|V : V → Xn è continua: siccome Xn è un sottospazio di X∞, segue che ˜ h1|V è continua.
Adesso, se j è l’iniezione di X∞ in X allora j◦˜ h1 = h1, quindi j◦˜ h1 è omotopicamente equivalente
all’identità di X. D’altra parte, consideriamo la mappa ˜ h1 ◦ j : X∞ → X∞. Siccome πtXn ⊂ Xn si
ottiene che ht applica ogni Xn in sé e definisce una omotopia di h1|Xn con l’applicazione identica
su Xn. Segue che ht ◦ j definisce una omotopia di h1 ◦ j con l’applicazione identica di X.
Teorema 1.9. Ogni varietà paracompatta M modellata su uno spazio di Hilbert separabile è
omotopicamente equivalente al limite induttivo di una successione di varietà di dimensione finita
Mn ⊂ Mn+1 ⊂ · · · .
Dimostrazione. Per il teorema 1.3, M ammette un embedding su una sottovarietà chiusa di uno
spazio di Hilbert H. Identifichiamo M con la sua immagine ed indichiamo con U un intorno tubolare
di M in H. Quindi M è omotopicamente equivalente a U. Sia (en) una base ortonormale per H
ed indichiamo con Pn il proiettore ortogonale di H sul sottospazio Hn generato da {e1, . . . , en}.
Dunque U è omotopicamente equivalente a lim Un, in cui Un := U ∩ Hn è una sottovarietà aperta
−→
dello spazio n-dimensionale Hn.
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA