Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica

con función de densidad:⎧⎨ 13f(x) =e−x/3 si x>0⎩ 0 si x ≤ 0.a) Calcular la esperanza de vida de un bombero al que se le haya diagnosticado la enfermedaddel bombero torero. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo bombero torero sea bomberoy sobreviva al menos 3 años?.Solución.a)E(X) =∫ +∞−∞xf(x)dx =∫ +∞0x 1 3 e−x/3 dx =3.También puede obtenerse sin más que tener en cuenta que X es una variable aleatoria exponencialde parámetro 1 1, luego E(X) = =3.3 1/3b)P (B ∩{X>3}) =P (X >3/B) · P (B) =(∫ +∞3)13 e−x/3 dx · 0.52 = 0.19. 11. La acidez X de un vino peleón depende de la proporción Y de orín de los que pisan la barracade uvas, y viene dada por la relación X =(1+Y ) 2 . La proporción Y es una variable aleatoriacon función de densidad⎧⎨ 2y si y ∈ [0, 1]f(y) =⎩ 0 si y/∈ [0, 1].Calcular la acidez media del vino y la varianza de X.Solución.La acidez media es E(X) =E[(1 + Y ) 2 ]=E[1 + Y 2 +2Y ]=1+E[Y 2 ]+2E[Y ].La E(Y )= ∫ 10 y2ydy = 2 3 .E(Y 2 )= ∫ 10 y2 2ydy = 1 2 . Entonces:E(X) =1+ 1 2 +2 ( 23Como Var(X) =E(X 2 ) − E(X) 2 , calculamos)= 176 =2.83.E(X 2 )=E[ ((1+ Y )2 ) 2 ] == E[ (1+Y 2 +2Y ) 2 ] = E [ 1+4Y +6Y 2 +4Y 3 + Y 4] ==1+4E(Y )+6E(Y 2 )+4E(Y 3 )+E(Y 4 ).VARIABLES CONTINUAS. 97