Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica

7. El diario “El imparcial de derechas” informa de que “la mayoría de los estudiantes de la ESOcreen que Francisco Franco fue un futbolista del Real Madrid”. Se hizo esta declaración en basea una encuesta, para la cual se escogieron al azar y entrevistaron 86 estudiantes de la ESO,del mismo colegio donde estudió el ministro de educación. El 52 por ciento de los entrevistadosafirmaron que Franco había sido un buen futbolista del Madrid (“metió muchos goles”, afirmóalguno).a) A partir de esta información, obtener un intervalo de confianza del 95 por ciento para laproporción real de estudiantes de la ESO que creen que Franco fue futbolista. ¿Se justifica ladeclaración del periódico?b) ¿Cuántos estudiantes se tendrían que entrevistar por parte del periódico para estimar laproporción de estudiantes que creen que Franco fue futbolista, con un error máximo de 0.1 y unaprobabilidad de 0.95? Utilizar la proporción de la muestra anterior para aproximar la varianza dela estimación.Solución.Sea p la proporción de estudiantes que creen que Franco fue futbolista. En la muestra, los datosson:n =86, ˆp =0.52, 1 − α =0.95 ⇒ α =0.05 ⇒ Z α/2 =1.96.El intervalo de confianza para una proporción es( √ ) ( √ )ˆp(1 − ˆp)0.52(1 − 0.52)ˆp ± Z α/2 = 0.52 ± 1.96=(0.42, 0.62).n86Debido a que el valor “teórico” (la mayoría) que dice el periódico, que es p =0.51, está eneseintervalo, con probabilidad 0.95, se justifica la declaración del periódico.√ˆp(1−ˆp)b) Se requiere calcular n tal que |p − ˆp| ≤0.1. Como |p − ˆp| ≤Z α/2 , tendremos quenZ α/2√ˆp(1 − ˆp)n≤ 0.1 ⇔ 1.96√0.52(1 − 0.52)n≤ 0.1 ⇔⇔ n ≥ 1.962 · 0.52 · 0.480.01Por lo tanto, n ha de ser mayor o igual a 96. =95.88.8. Se realizan 10 determinaciones del porcentaje de riqueza en un lingote de oro hallado en lasminas del rey Salmonete, con dos instrumentos distintos. Las varianzas muestrales resultan ser140 INTERVALOS DE CONFIANZA