Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica

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13. Interesa investigar si el nivel de los estudiantes que acceden a la Universidad es semejanteal de hace diez años. Para ello se somete a una prueba especial (enroscar bombillas) a 200estudiantes seleccionados al azar, observándose que la superan 80. Esa misma prueba habíasido realizada hace diez años por una amplia muestra de 400 estudiantes, superándola un totalde 335.a) ¿Puede afirmarse que, en la actualidad, la proporción de estudiantes que pasarían la pruebaes inferior, en más de un cinco por ciento, a la proporción de ellos que la pasaron hace diezaños? Responder en base al p-valor. b) Supuesto que se hubiesen tomado dos muestras deigual tamaño, ¿cuál debería ser éste para estimar la diferencia de proporciones con un errorinferior al uno por ciento, y un nivel de confianza del 95 por ciento?Solución.a) Las proporciones muestrales son ˆp 2 = 80200 =0.4 y ˆp 1 = 335400 =0.8375.El contraste que se plantea es H 0 : p 1 − p 2 ≥ 0.05 frente a H 1 : p 1 − p 2 < 0.5. El estadístico delcontraste esEn este casow = (ˆp 1 − ˆp 2 ) − (p 1 − p 2 )√.ˆp 1 (1−ˆp 1 )n 1+ ˆp 2(1−ˆp 2 )n 2ŵ = (0.4 − 0.8375) − (p 1 − p 2 )√0.4·(1−0.4)+ 0.8375·(1−0.8375)200 400=(0.4 − 0.8375) − 0.05√= −12.42.0.4·(1−0.4)+ 0.8375·(1−0.8375)200 400El p-valor es el área a la izquierda, en una N(0, 1), del valor -12.42 (prácticamente 0), con lo querechazamos de lleno H 0 (aceptando la hipótesis alternativa).TEST DE HIPÓTESIS 161
) Suponemos n 1 = n 2 .El intervalo de confianza (de máxima longitud) para la diferencia de proporciones es(√1(ˆp 1 − ˆp 2 ) ± Z α/2 + 1 ),4n 1 4n 2cuya longitud es 2 · Z α/2√14n 1+ 14n 1. Queremos queLuego2 · Z α/2√14n 1+ 14n 1=2· Z α/2√24n 1≤ 0.1 y a =0.05 ⇒ Z α/2 =1.96.4 · 1.96 2 2 ≤ 0.1 2 ⇒ n 1 ≥ 1.962 · 2= 768.32.4n 1 0.01Obtenemos pues que los tamaños de muestra (para ambas muestras el mismo) deberían sermayores o iguales a 769.14. Científicos de una universidad española desean estudiar si es cierto que “se coge antes a unmentiroso que a un cojo”. Para estudiar este problema, se seleccionaron 2 grupos de 11 personas:uno formado por por gente normal a la que se le hizo un vendaje para impedirles doblaruna pierna, y otro formado por políticos de profesión. Se mezcló aleatoriamente a los dos grupos,y se les dejó en los alrededores de la plaza de Neptuno (Madrid), a escasos treinta metrosde un pelotón de antidisturbios cabreados. A continuación, se lanzó por sorpresa una bengalaen el medio de los antidisturbios, simulando que procedía del grupo de los voluntarios, y se anotóel tiempo que cada uno de ellos tardó en recibir el primer porrazo:Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Grupo A (mentirosos) 25 25 47 44 30 37 53 53 52 60 28Grupo B (cojos) 27 29 47 56 26 82 57 80 61 59 43¿Hay suficiente evidencia estadística (al nivel de significación 0.01) a favor del refrán español(suponer que las varianzas de los grupos pueden suponerse iguales)?162 TEST DE HIPÓTESIS
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- ∪ n i=1A i =Ωy además son tal
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2. VARIABLES ALEATORIASEn ocasiones
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distribución Binomial Negativa de
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Ejemplo. Según un estudio propio r
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6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS.Una hip
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Definimos la variable X=“piso en
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86 VARIABLES DISCRETAS
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Para calcular la desviación típic
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9. Un bombardero inteligente lleva
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) Primero vamos a calcular k 1 y k
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