Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica

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1. PROBABILIDADPara introducir la noción de probabilidad, hay que tener diferenciados 2 tipos de experimentos.Experimento determinista. Es aquel que, al realizarse repetidas veces, en idénticas condiciones,proporciona siempre el mismo resultado.Ejemplos: Tiempo que tarda en recorrer un móvil un cierto espacio a velocidad constante encondiciones fijadas; una reacción química en condiciones prefijadas de antemano.Experimento aleatorio (en el que interviene el azar). Es aquel que puede dar lugar a diferentesresultados conocidos previamente, sin que sea posible predecir cuál va a ocurrir en una realizaciónparticular del experimento. Verifica:1. Puede repetirse indefinidamente, siempre en las mismas condiciones.2. Antes de realizarlo no se puede predecir el resultado que se va a obtener.3. El resultado que se obtenga pertenece a un conjunto previamente conocido de posibles resultados.Definiciones básicas:Espacio muestral. Es el conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Serepresenta Ω.Suceso elemental. Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio.Suceso. Es un subconjunto del espacio muestral, A ⊂ Ω.Probabilidad. Es una función que le asigna a cada suceso A de un espacio muestral Ω un númerollamado probabilidad de A, verificando:1.-) Es un número entre 0 y 1. 0 ≤ P (A) ≤ 1.2.-) La probabilidad del espacio muestral es 1. P (Ω) = 1.3.-) Si se consideran n sucesos incompatibles (con intersección el vacío, A i ∩ A j = ∅, si i ≠ j), laprobabilidad de la unión es la suma de las probabilidades.P (A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n )=P (A 1 )+P (A 2 )+... + P (A n ).A partir de estas 3 propiedades, y teniendo en cuenta que un suceso es un conjunto A ⊂ Ω, puedecomprobarse que se verifican también las siguientes:- La probabilidad del complementario de un suceso es 1 menos la probabilidad de dicho suceso:P (Ā) =1− P (A).PROBABILIDAD 11
-SiA ⊂ B, entonces P (A) ≤ P (B).- P (A ∪ B) =P (A)+P (B) − P (A ∩ B).- P (A ∪ B ∪ C) =P (A)+P (B)+P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C)+P (A ∩ B ∩ C).En generalP (A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ) = P (A 1 )+P (A 2 )+... + P (A n ) −−P (A 1 ∩ A 2 ) − P (A 1 ∩ A 3 ) − ... − P (A n−1 ∩ A n )++P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 )+... + P (A n−2 ∩ A n−1 ∩ A n ) −...+(−1) n+1 P (A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n ).- P (A − B) =P (A) − P (A ∩ B) (siendo A − B = A ∩ ¯B).- P (A∇B) =P (A)+P (B) − 2P (A ∩ B) (siendo A∇B =(A − B) ∪ (B − A)).- Además, al cumplirse las leyes de Morgan (el complementario de la unión es la intersección delos complementarios, y el complementario de la intersección es la unión de los complementarios):A 1 ∪ ... ∪ A n = Ā1 ∩ ... ∩ Ān y A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n = Ā1 ∪ ... ∪ Ān,podremos utilizar también que P (Ā1 ∩ ... ∩ Ān) = 1 − P (A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ) y P (Ā1 ∪ ... ∪ Ān) =1 − P (A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n ).Ejemplo. En un ayuntamiento, el 60% de los concejales acepta sobornos o favores sexuales, y el10% hace ambas cosas. Si además hay un 60% que no acepta sobornos, calcular la probabilidad deque escogido al azar un concejal: a) sólo acepte sobornos, b) sólo acepte favores sexuales, c) tengasólo uno de esos defectos, d) no tenga ninguno de esos defectos.Solución.Definimos los sucesos A =“aceptar sobornos”y B =“aceptar favores sexuales”. El enunciado delproblema nos da las probabilidades P (A ∪ B) =0.6, P(A ∩ B) =0.1,queP(Ā) =0.6. Obtenemos ademásP (A) =1− P (Ā) =0.4, y, como P (A ∪ B) =P (A)+P (B) − P (A ∩ B), entonces P (B) =P (A ∪B) − P (A)+P (A ∩ B) =0.6 − 0.4+0.1 =0.3.Ahora podemos resolver los apartados.a) P (A − B) =P (A) − P (A ∩ B) =0.4 − 0.1 =0.3.b) P (B − A) =P (B) − P (A ∩ B) =0.3 − 0.1 =0.2.c) P (A∇B) =P (A)+P (B) − 2P (A ∩ B) =0.4+0.3 − 2 · 0.1 =0.5.12 PROBABILIDAD
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