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4.3 Variable ExponencialUna variable continua X se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro λ>0 si sufunción de densidad es⎧⎨ λe −λx si x>0f(x) =⎩ 0 en otro caso.Se representa X ∈ Exp(λ). Su función de distribución es⎧⎨ 1 − e −λx si x>0F (x) =⎩ 0 en otro caso.Las gráficas de la función de densidad y distribución son, respectivamente (aquí hemos elegidoλ =2):Su media y varianza son:E(X) = 1 λ y Var(X) = 1 λ 2 .Ejemplo. La duración de la fiesta de la cerveza de un pueblo (consistente en beber cerveza hastaque todos quedan dormidos en el campo de la feria) es exponencial con duración media 300 horas.¿Cuál es la probabilidad de que la fiesta acabe en un solo día?Solución.X =“duración en horas” sigue una distribución exponencial de parámetro λ = 1 = 1 . LaE(X) 300probabilidad que nos piden es P (X ≤ 24) = F (24) = 1 − e − 1300 ·24 =0.076.VARIABLE EXPONENCIAL 33
4.4 Teorema Central del límiteCuando sumamos un número grande de variables, la variable resultante es una distribución normal.De manera general, si X 1 ,X 2 , ..., X n son variables de media o esperanza μ i = E(X i ) y σ 2 i =Var(X i ),i=1, ..., n, se verifica que la variable suma Y = X 1 + X 2 + ... + X n se puede aproximar poruna variable normal, de media la suma de las medias y varianza la suma de varianzas, es decir⎛⎞n∑∑Y ≈ N ⎝ μ i , √ n ⎠ .i=1 i=1Nota. En el caso de sumar variables aleatorias normales, la aproximación anterior no es tal, sinoque es una distribución exacta (ver fórmula (4.1)).Ejemplo. La compañía aérea Spamair, viendo que por regla general el 14 por ciento de plazasreservadas acaban vacías, decide aceptar reservas por un 8 por ciento más en todos sus vuelosde aviones Yavolev, de 300 plazas, utilizados generalmente para viajes de jubilados. Calcular elporcentaje de vuelos de este tipo en los que algún jubilado se tiene que acomodar en los lavabos porfalta de sitio.Solución.34 PRINCIPALES VARIABLES CONTINUASσ 2 i
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