Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica

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con función de densidad:⎧⎨ 13f(x) =e−x/3 si x>0⎩ 0 si x ≤ 0.a) Calcular la esperanza de vida de un bombero al que se le haya diagnosticado la enfermedaddel bombero torero. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo bombero torero sea bomberoy sobreviva al menos 3 años?.Solución.a)E(X) =∫ +∞−∞xf(x)dx =∫ +∞0x 1 3 e−x/3 dx =3.También puede obtenerse sin más que tener en cuenta que X es una variable aleatoria exponencialde parámetro 1 1, luego E(X) = =3.3 1/3b)P (B ∩{X>3}) =P (X >3/B) · P (B) =(∫ +∞3)13 e−x/3 dx · 0.52 = 0.19. 11. La acidez X de un vino peleón depende de la proporción Y de orín de los que pisan la barracade uvas, y viene dada por la relación X =(1+Y ) 2 . La proporción Y es una variable aleatoriacon función de densidad⎧⎨ 2y si y ∈ [0, 1]f(y) =⎩ 0 si y/∈ [0, 1].Calcular la acidez media del vino y la varianza de X.Solución.La acidez media es E(X) =E[(1 + Y ) 2 ]=E[1 + Y 2 +2Y ]=1+E[Y 2 ]+2E[Y ].La E(Y )= ∫ 10 y2ydy = 2 3 .E(Y 2 )= ∫ 10 y2 2ydy = 1 2 . Entonces:E(X) =1+ 1 2 +2 ( 23Como Var(X) =E(X 2 ) − E(X) 2 , calculamos)= 176 =2.83.E(X 2 )=E[ ((1+ Y )2 ) 2 ] == E[ (1+Y 2 +2Y ) 2 ] = E [ 1+4Y +6Y 2 +4Y 3 + Y 4] ==1+4E(Y )+6E(Y 2 )+4E(Y 3 )+E(Y 4 ).VARIABLES CONTINUAS. 97
E(Y 3 )=∫ 10y 3 2ydy = 2 5 ; E(Y 4 )=∫ 10y 4 2ydy = 1 3 .Luego E(X 2 )=1+4· 2 +6· 1 +4· 2 + 2 = 4343⇒ Var(X) = − ( 173 2 5 6 5 5 6 )2 = 103 =0.572. 18012. El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza un ciertotipo de vibrador en un periodo de un año, es una variable aleatoria continua que tiene la funciónde densidad⎧⎪⎨f(x) =⎪⎩x si 0
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d) P (Ā ∩ ¯B) =P (A ∪ B) =1
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= P (A 1 )P (A 2 /A 1 )P (A 3 /A 1
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- ∪ n i=1A i =Ωy además son tal
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y el valor del estadístico del con
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(grupo 1) y otros que ven “2001 o
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