Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica

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5. INTERVALOS DE CONFIANZA.Un intervalo de confianza de nivel α para estimar un parámetro θ es un intervalo de valores (a, b) quecontiene al parámetro θ con probabilidad 1 − α, es decir P (θ ∈ (a, b)) = 1 − α.α se llama nivel de significación. 1 − α nivel de confianza. Cuanto mayor nivel de confianza, mayorlongitud del intervalo, y a menor nivel, menor longitud. Que el parámetro θ esté en un intervalo conuna confianza, por ejemplo, del 95%, significa que, si dispusiéramos de todas las muestras posibles,el 95% de ellas contendrían al parámetro, y habría un 5% de muestras que no lo contendrían.Los valores típicos de α suelen ser 0.01, 0.05 y 0.1 (correspondiendo a niveles de confianza del 99,95 y 90 por ciento respectivamente).5.1 Intervalos de confianza para variables aleatorias normalesSe parte de una muestra aleatoria simple (x 1 ,x 2 ,...,x n ) de la variable X ∈ N(μ, σ).1.-) Intervalo de confianza para μ.1.1.- Conociendo la desviación típica σ.)σ(x ± Z α/2 √n ,siendo Z α/2 el valor de una distribución N(0, 1) que deja a su derecha α/2 de área (Figura 5-1).1.2.- Desconociendo la desviación típica.()Ŝ n−1x ± t n−1,α/2 √ , nsiendo t n−1,α/2 el valor de una t de Student con n − 1 grados de libertad que deja a la derecha α/2 deárea (mismo significado que en el caso anterior, pero debemos buscar dicho valor en la densidad tcon n − 1 grados de libertad). Ŝn−1 es la cuasi-desviación típica muestral, es decir la raiz cuadrada dela cuasi-varianza muestral:Ŝ 2 n−1 =∑ ni=1 (x i − x) 2.n − 1INTERVALOS DE CONFIANZA. 37
Figura 5-1: Valor Z α/2 en una N(0, 1)La relación con la varianza muestral, Ŝ2 n,Ŝ 2 n =∑ ni=1 (x i − x) 2,nes de la formanŜ2 n =(n − 1)Ŝ2 n−1 ⇐⇒ Ŝ2 n−1 =nn − 1Ŝ2 n. (5.1)2.-) Intervalo de confianza para σ (para σ 2 simplemente se elevan los valores al cuadrado).2.1.- Conociendo la media μ.(√ ∑ni=1 (x i − μ) 2χ 2 n,α/2,√ ∑n)i=1 (x i − μ) 2,χ 2 n,1−α/2siendo χ 2 n,α/2el valor de una Chi-cuadrado con n grados de libertad que deja a la derecha α/2 de área.2.2.- Desconociendo la media.(√ ∑ni=1 (x i − x) 2χ 2 n−1,α/2,√ ∑n)i=1 (x i − x) 2=χ 2 n−1,1−α/2⎛= ⎝√ (n − ⎞ (√1)Ŝ2 n−1, √ (n − 1)Ŝ2 n−1 ⎠ =χ 2 n−1,α/2χ 2 n−1,1−α/2nŜ2 nχ 2 n−1,α/2,√nŜ2 nχ 2 n−1,1−α/2),siendo χ 2 n−1,α/2de área.el valor de una Chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad que deja a la derecha α/238 INTERVALOS DE CONFIANZA.
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