Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica

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3. PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS3.1 Variable de BernouilliSupongamos un experimento que admite sólo 2 posibles resultados: éxito (A) o fracaso (Ā), queocurren con probabilidad p = P (A) y q =1− p, respectivamente. Este tipo de experimento recibe elnombre de prueba de Bernouilli.La variable aleatoria con función de probabilidadX P (X = x i )0 q1 precibe el nombre de variable aleatoria de Bernouilli (X ∈ Bernouilli(p)).Se obtiene fácilmente que E(X) =p y Var(X) =pq.Ejemplo. Variable que toma el valor cero si sale cara al lanzar una moneda, y uno si sale cruz.3.2 Variable BinomialSupongamos que se realizan n experimentos de Bernouilli de manera sucesiva, siendo cada experimentoo prueba independiente del anterior. La Variable X =“número de veces que ocurre el sucesoA en las n pruebas” o “número de éxitos en n pruebas” recibe el nombre de variable binomial deparámetros n y p (p = P (A) =p(éxito en 1 prueba)). Se escribe X ∈ Bi(n, p).La variable X puede tomar los valores 0, 1, 2, ...n, siendo la probabilidad con que los toma:( ( n nP (X = k) = pk)k q n−k n!, donde =k)k!(n − k)! .La media y la varianza son:E(X) =np y Var(X) =npq.Ejemplo. Un acusado va a ser declarado inocente o culpable por un jurado popular. Para sercondenado es necesario que al menos 7 personas de las 10 del jurado voten culpable. Dado quePRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS 23
en los programas de televisión ya han dado muchos detalles del caso, los miembros del jurado estánatendiendo al twiter o leyendo el periódico en vez de escuchar al fiscal y al abogado, porque vana decidir tirando una moneda al aire.inocente?Solución.Definimos A =“éxito” =“inocente”. p = P (A) =0.5X =“número de éxitos en 10 pruebas” ∈ Bi(10, 0.5).La probabilidad de ser declarado inocente es P (X ≥ 4).¿Cuál es la probabilidad de que el acusado sea declarado∑10( ) 10P (X ≥ 4) = 0.5 k 0.5 10−k =0.82.kk=4Propiedad aditiva. La Variable binomial es reproductiva respecto al parámetro n. Si X ∈ Bi(n 1 ,p)e Y ∈ Bi(n 2 ,p) son 2 variables independientes, la suma X + Y ∈ Bi(n 1 + n 2 ,p) (esta propiedad esgeneralizable a un número finito de variables).3.3 Variable de PoissonUn proceso de Poisson es un experimento aleatorio donde se observa la aparición de un suceso sobreun soporte continuo (generalmente el tiempo). Además, debe cumplirse que los sucesos ocurran de24 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS
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