Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica

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5.2 Intervalos para la comparación de dos poblacionesnormales independientes.Se parte de dos muestras aleatorias simples (x 1 ,x 2 , ..., x n ) e (y 1 ,y 2 , ..., y m ), de las variables X ∈N(μ 1 ,σ 1 ) e Y ∈ N(μ 2 ,σ 2 ), respectivamente.3.-) Intervalo de confianza para la diferencia de medias μ 1 − μ 2 .3.1.- Conociendo las desviaciones típicas σ 1 y σ 2 .(√ )σ2(x − y) ± Z 1α/2n + σ2 2.m3.2.- Desconociendo las desviaciones típicas pero suponiendo que son iguales.⎛√⎞√(n −⎝(x − y) ± t 1)Ŝ2 n−1 +(m − 1)Ŝ2 m−1 1n+m−2,α/2n + m − 2 n + 1 ⎠ .m3.3.- Desconociendo las desviaciones típicas y suponiendo que los tamaños de las muestras songrandes (n, m ≥ 30).⎛⎝(x − y) ± Z α/2√Ŝ 2 n−1n+ Ŝ2 m−1m3.4.- Desconociendo las desviaciones típicas y suponiendo que los tamaños de las muestras sonpequeños (n, m < 30).⎛⎞⎠⎞⎝(x − y) ± t n+m−2−Δ,α/2√Ŝ 2 n−1n+ Ŝ2 m−1m⎠ ,siendo Δ el entero más próximo a((m − 1) Ŝ2 n−1(m − 1)(Ŝ2n−1nn) 2− (n − 1) Ŝ2 m−1m) 2 (Ŝ2+(n − 1)m−1m4.- Intervalo de confianza para la razón de varianzas σ 2 2/σ 2 1.(F n−1,m−1,1−α/2Ŝ 2 m−1Ŝ 2 n−1) 2.,F n−1,m−1,α/2Ŝ 2 m−1Ŝ 2 n−1siendo F n−1,m−1,α/2 el valor de una F de Snedecor con n − 1 y m − 1 grados de libertad que deja a laderecha α/2 de área.INTERVALOS PARA LA COMPARACIÓN DE DOS POBLACIONES NORMALES INDEPENDIENTES. 39),
5.3 Intervalos para proporciones.Intervalo de confianza para una proporción. Supongamos que se mide una cierta característicaA en una población. Sea p = P (A) la proporción de elementos de la población con dicha característica.p se estima puntualmente mediante la proporción muestral ˆp =(número de elementos conla carácterística en la muestra de tamaño n)/n. El intervalo de confianza para p es( √ )ˆp(1 − ˆp)ˆp ± Z α/2 .nEl intervalo más largo posible (donde se sustituye el producto p(1 − p) por su máximo valor que es1/4) es (√ )1ˆp ± Z α/2 .4nIntervalo de confianza para la diferencia de proporciones. Ahora suponemos dos poblacionesen donde se considera la misma característica A. p 1 es la proporción de elementos con dicha característicaen la primera población, y p 2 es la proporción en la segunda población. Se toma una muestrade tamaño n 1 de la primera población y otra de tamaño n 2 en la segunda, y se calculan las respectivasproporciones muestrales ˆp 1 y ˆp 2 . El intervalo de confianza para la diferencia p 1 − p 2 es⎛√⎞ˆp 1 (1 − ˆp 1 )⎝(ˆp 1 − ˆp 2 ) ± Z α/2 + ˆp 2(1 − ˆp 2 )⎠ .n 1Análogamente al caso anterior, se puede considerar el intervalo más largo posible:(√1(ˆp 1 − ˆp 2 ) ± Z α/2 + 1 ).4n 1 4n 2n 240 INTERVALOS DE CONFIANZA.
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