Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica

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Solución.P (7/2) =P (7 ∩ 2)P (2)=(Si sobrevive 7 meses es que sobrevive 2, luego 7 ⊂ 2) == P (7)P (2) = 0.280.5 =0.56. 10. Se dispone de una máquina de la verdad que nos advierte que un hombre es infiel el 95 porciento de las veces en que realmente lo ha sido. Si el hombre no ha sido infiel, nos dice que loha sido el 5 por ciento de las veces. El gobierno impone a todos los hombres de la poblaciónpasar por la máquina. Ilitri entra en la máquina y ésta pita (dice que ha sido infiel). Calcular laprobabilidad de que Ilitri le haya puesto los cuernos a su señora, sabiendo que el 90 por cientode la gente es infiel por naturaleza.Solución.Definimos los suceso T =“la máquina timbra”, F =“ser fiel”. Tenemos que P (T/¯F )=0.95,P(T/F)=0.05,P( ¯F )=0.9.Nos piden P ( ¯F/T). Por la regla de Bayes:P ( ¯F/T)=P (T/¯F )P ( ¯F )P (T/¯F )P ( ¯F )+P (T/F)P (F ) = 0.95 · 0.90.95 · 0.9+0.05 · 0.1 =0.994 . 11. En la secretaria del presidente del gobierno no se puede confiar. La probabilidad de que seolvide de llamar a la mujer del presidente para decirle que está reunido con el gabinete de crisis,mientras éste se va de excursión con una becaria, es 2/3. La mujer del presidente está hasta elmoño. Son las 2 de la mañana y su marido no aparece. Si la secretaria la llama, existe la mismaprobabilidad de que al día siguiente le ponga las maletas en la calle a su marido que de que nolo haga. Ahora bien, si no recibe ninguna llamada, sólo hay un 25 por ciento de probabilidad deque olvide el asunto. Al llegar a casa (a las cinco de la mañana, ojeroso, ebrio y descamisado)el presidente encuentra sus cosas tiradas por las escaleras del palacio presidencial (incluido suosito de peluche preferido). ¿Cuál es la probabilidad de que su secretaria no haya llamado a sumujer?Solución.Definimos los sucesos: L=“la secretaria llama a la mujer”, E=“la mujer echa de casa al presidente”.Los datos que nos dan son: P (E/L)=P (Ē/L)=0.5, P(Ē/¯L) =0.25 y P (¯L) =2/3. Nospiden P (¯L/E), que calculamos usando la fórmula de Bayes:P (E/¯L)P (¯L)P (¯L/E) =P (E/¯L)P (¯L)+P (E/L)P (L) = 0.75 · 230.75 · 2 +0.5 · 1 =0.75. 3 3PROBABILIDAD 59
12. Como dicen los gallegos, las brujas no existen, “pero haberlas, haylas” (anda que no se vendetrás de las ventanillas de ministerios...). Una máquina del famoso cazafantasmas Tristran-Braker tiene dos luces: roja para avisar de la presencia de una bruja, y verde para avisar de quela zona está despejada. Cuando entran en una zona peligrosa, TristranBraker activa la máquinay, automáticamente, se enciende una u otra luz. Se enciende la luz roja, con probabilidad 0.9,en caso de que esté cerca realmente una bruja. Si no hay, detecta la ausencia (se ilumina la luzverde) con probabilidad 0.8. Sabiendo que la probabilidad de que en un bosque haya brujas es0.20, calcular la probabilidad: a) de que realmente haya brujas cuando la máquina ha detectadopresencia. b) De que realmente haya brujas cuando la máquina ha detectado ausencia. c) Deque haya brujas y además la máquina las detecte.Solución.Definimos los sucesos: B=“hay brujas”, R=“la máquina detecta brujas (rojo)” y V =“la máquinadice que no hay brujas (verde)”. Los datos que nos dan son:P (R/B) =0.9,P(V/¯B) =0.8,P(B) =0.2.Al conocer P (R/B) y P (V/¯B) podemos conocer P (R ∩ B) y P (V ∩ ¯B), puesto queP (R/B) =P (R ∩ B)P (B)y P (V/¯B) =P (V ∩ ¯B)P ( ¯B) , con lo queP (R ∩ B) =0.2 · 0.9 =0.18 y P (V ∩ ¯B) =0.8 · 0.8 =0.64.Ahora podemos deducir las probabilidades de las otras dos intersecciones de sucesos que nosfaltan, esto es R ∩ ¯B y V ∩ B, puesto que, al ser V y R sucesos mutuamente excluyentes (siocurre uno no ocurre el otro, y viceversa), entonces:B =(V ∩ B) ∪ (R ∩ B) y¯B =(V ∩ ¯B) ∪ (R ∩ ¯B).Por lo tantoP (V ∩ B) =P (B) − P (R ∩ B) =0.2 − 0.18 = 0.02yP (R ∩ ¯B) =P ( ¯B) − P (V ∩ ¯B) =0.8 − 0.64 = 0.16.Ahora podemos contestar a las cuestiones planteadas.60 PROBABILIDAD
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