Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica

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- ∪ n i=1A i =Ωy además son tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un sucesopara el que se conocen las probabilidades P (B/A i ) para todo i. Entonces la probabilidad del sucesoB viene dada por:n∑P (B) = P (B/A i )P (A i ).i=1Ejemplo. El porcentaje de gatillazos en adolescentes en sábado noche, tras una jornada debotellón, es del 3%; y, para los que no han hecho botellón del 0,5%. Si los chavales van de botellónlos sábados noche en proporción del 75%, ¿cuál es el porcentaje de gatillazos entre adolescentes elsabado noche?Solución.Definimos los sucesos G=“tener un gatillazo”, A 1 =“hacer botellón” y A 2 =“no hacer botellón”. Estees un ejemplo muy sencillo donde A 1 y A 2 son incompatibles y la suma de probabilidades da uno. Losdatos que tenemos son: P (G/A 1 )=0.03,P(G/A 2 )=0.005, P(A 1 )=0.75, P(A 2 )=1− 0.75.P (G) =P (G/A 1 )P (A 1 )+P (G/A 2 )P (A 2 )=0.03 · 0.75+0.005 · (1 − 0.75) = 0.02375.Esto es, el porcentaje es tan sólo del 2.375 por ciento, que ya lo quisieran sus padres.1.5 Regla de BayesSea un sistema completo de sucesos A 1 ,A 2 , ..., A n , es decir:- Son sucesos incompatibles 2a2,A i ∩ A j = φ,si i ≠ j.- ∪ n i=1A i =Ωy son tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso parael que se conocen las probabilidades P (B/A i )∀i. Entonces, las probabilidades P (A j /B) se puedenobtener de la formaP (A j /B) = P (B/A j)P (A j )∑ ni=1 P (B/A , ∀j =1, ..., n.i)P (A i )Ejemplo. Los presos de Alcalá-Mico proceden de 3 ayuntamientos A, ByC,siendo un 20% de A,un 30% de B y el resto de C. El 80% de los presos de A van al módulo de baja seguridad y el restoal de alta seguridad. El 50% de los presos de B van al módulo de baja seguridad y el resto al de altaseguridad. El 60% de los presos de C van al módulo de baja seguridad y el resto al de alta seguridad.REGLA DE BAYES 17
Acaba de ingresar en la cárcel un ex-ministro por haber robado las huchas de cáritas, y el directorde la cárcel decide aplicarle el protocolo de prevención de suicidios, colocándole en la misma celdade un preso del módulo de baja seguridad para que le haga compañía. Lo que no sabe el directorde la cárcel es que el ex-ministro fue concejal del ayuntamiento B hace años, y todos los de allí selatienen jurada (por haber ordenado cerrar el único bar de alterne). ¿Cuál es la probabilidad de que elcompañero de celda sea del ayuntamiento B y, por una vez, se haga realmente justicia?Solución.Definimos los sucesos BS =“ser preso del módulo de baja seguridad”, A=“ser del ayuntamientoA”, B=“ser del ayuntamiento B”, C=“ser del ayuntamiento C”.P (A) =0.2,P(B) =0.3,P(C) =0.5.P (BS/A) =0.8,P(BS/B) =0.5,P(BS/C) =0.6.Tenemos que calcular P (B/BS).P (B/BS) =P (BS/B)P (B)P (BS/A)P (A)+P (BS/B)P (B)+P (BS/C)P (C) ==0.5 · 0.30.8 · 0.2+0.5 · 0.3+0.6 · 0.5 =0.2459.18 PROBABILIDAD
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