Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica

Cuando se realiza un muestreo, éste puede ser con o sin reemplazamiento. Si es con reemplazamientoutilizaremos la distribución binomial para contar el número de éxitos, y si es sin reemplazamientoutilizaremos la distribución hipergeométrica. Además, si N es grande respecto a n, la binomialaproximará a la hipergeométrica (la aproximación es buena cuando n/N < 0.1).Ejemplo. Corroído por la envidia, un estudiante ha agujereado varios preservativos de la mesillade noche de un compañero de piso italiano que ha venido de Erasmus. La caja tiene 20 preservativos,y están agujereados 5. El jueves de noche hay fiesta en la casa y se gastan 3 preservativos. ¿Cuáles la probabilidad de que alguno de los apareamientos termine ocasionando un bombo (suponemosque el erasmus, conocido en el campus por su mote “el semental italiano”, como no use preservativoprovoca un embarazo asegurado)?Solución.X =“número de preservativos agujereados en la muestra de tamaño 3” sigue una distribuciónhipergeométrica de parámetros N =20,n A =5,n=3.La probabilidad que hay que calcular es( 5 15)P (X ≥ 1) = 1 − P (X =0)=1− 0)(3) =1− 0.399 = 0.601.( 2033.7 Variable MultinomialLa distribución multinomial es similar a la distribución binomial, con la diferencia de que, en lugarde dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber múltiples resultados.Supongamos quese realizan n pruebas independientes de un experimento aleatorio cuyos posibles resultados sonA 1 ,A 2 , ..., A t , que ocurren con probabilidades respectivas p 1 ,p 2 , ..., p t (p 1 + ... + p t =1).Llamemos X i el número de veces que ocurre el suceso A i en las n pruebas. Diremos que X =(X 1 ,X 2 , ..., X t ) es un vector aleatorio (variable aleatoria multidimensional) con distribución multinomialo polinomial, que se denota por M t (n; p 1 ,p 2 , ..., p t. ).La distribución multinomial tiene la siguiente distribución de probabilidad:Se tiene queP (X 1 = k 1 ,X 2 = k 2 , ..., X t = k t )=n!k 1 !k 2 !...k t ! pk 11 p k 22 ...p ktt ; k 1 + k 2 + ...k t = n.E(X i )=np i ,Var(X i )=np i (1 − p i ).28 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS