Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica
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ministerio porque entonces se superan los 2 días <strong>de</strong> hospital. Se seleccionan 9 fuentes públicas<strong>de</strong> 9 pueblos y se realiza un recuento <strong>de</strong>l número <strong>de</strong> bacterias por centímetro cúbico en cadauna <strong>de</strong> ellas, obteniéndose 74, 76, 69, 66, 74, 75, 78, 62, 79.a) Establecer y resolver el contraste <strong>de</strong> hipótesis a<strong>de</strong>cuado a la situación <strong>de</strong>scrita. b) Si uncientífico pagado por el partido <strong>de</strong> la oposición dice que el superar las 73 bacterias pue<strong>de</strong> provocarla muerte, ¿qué tamaño <strong>de</strong> muestra <strong>de</strong>be elegirse, para realizar el contraste anterior connivel 0.05 y potencia 0.9?Solución.Contrastamos H 0 : μ =70frente a H 1 : μ>70.De los datos obtenemos n =9, ¯x =72.55, ŝ n−1 =5.7. El valor <strong>de</strong>l estadístico para el contraste esŵ =x − μ oŜ n−1 / √ n =1.34.El p-valor es el área a la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> ŵ =1.34, es <strong>de</strong>cir 0.11. Con este p-valor no habría motivopara rechazar la hipótesis nula.b) En este caso plantearíamos H 0 : μ ≤ 73 frente a H 1 : μ>73.Deberíamos rechazar H 0 , para un nivel α =0.05, cuando ŵ>F N(0,1) (0.95) = 1.64 (aquí elegimoscomo valor crítico para aceptar o rechazar el <strong>de</strong> una distribución N(0, 1) ynoel<strong>de</strong>lat <strong>de</strong> Stu<strong>de</strong>ntpor dos motivos: al no saber el tamaño muestral, no sabríamos en qué t <strong>de</strong>bemos buscar y, encualquier caso, el tamaño muestral ha <strong>de</strong> ser gran<strong>de</strong>, <strong>de</strong> manera que se aproximará el valor <strong>de</strong>la t por el <strong>de</strong> la normal). Entoncesŵ>1.64 ⇔x − μŜ n−1 / √ n> 1.64 ⇔ x − μ>1.64Ŝn−1 √ ⇔ n x>73+1.64Ŝn−1 √ . nPotencia= 1− P (Error tipo II) =1− P (Aceptar H 0 /H 0 falsa) =P (Rechazar H 0 /H 0 falsa). Si lapotencia ha <strong>de</strong> ser 0.9, entoncesP (ŵ>1.64/μ > 73) = 0.9 ⇔ P (ŵ ≤ 1.64/μ > 73) = 0.1.() ⎛⎞Ŝn−173+1.64 √ n− μ0.1 =P x ≤ 73+1.64Ŝn−1 √ /μ > 73 = P ⎝Z ≤ /μ > 73⎠ .n Ŝ √n n−1El valor <strong>de</strong> una N(0, 1) que <strong>de</strong>ja a la izquierda un área <strong>de</strong> 0.1 es −1.28. Por lo tanto,73+1.64 Ŝn−1 √ nŜ n−1 √n− μ= −1.28 ⇔ 73+1.64Ŝn−1 √ − μ = n −1.28Ŝn−1 √ ⇔ nTEST DE HIPÓTESIS 155