Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

1 Funktionen 7
1.1.3. Polynome
Definition 1.6
Eine Funktion der Form f : R → R, f(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0
heißt Polynom (vom Grad n, falls an �= 0).
Beispiel 1:
1. 2x 3 − 5x 2 + 1 ist ein Polynom vom Grad 3.
2. Quadratische Funktionen sind Polynome vom Grad 2.
3. Lineare Funktionen sind Polynome.
Satz 1.7
Ist p ein Polynom vom Grad n ≥ 1 und p(a) = 0, so gibt es ein Polynom q(x)
vom Grad n − 1 mit p(x) = (x − a) · q(x).
Beispiel 2:
f(x) = x 3 − x 2 + 2x − 2.
Durch Probieren erhält man f(1) = 0. bringt dann:
�
x 3 − x 2 + 2x − 2 � : � x − 1 � = x 2 + 2
− x 3 + x 2
2x − 2
− 2x + 2
0
⇒ x 3 − x 2 + 2x − 2 = (x − 1)(x 2 + 2).
Satz 1.8
Jedes Polynom kann dargestellt werden als Produkt von linearen und nullstellenfreien
quadratischen Polynomen.
Bemerkung:
Ist p(x) = (x − a) k · q(x), q(a) �= 0, so heißt a auch
k-fache Nullstelle.
Beispiel 3:
f(x) = x 3 − 2x 2 + x = x · (x − 1) 2 .
1 ist doppelte, 0 einfache Nullstelle von f.
1.1. Elementare Funktionen
1