Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

1 Funktionen 23
1.3.3. Der Logarithmus
Die Exponentialfunktionen a x , a ∈ R >0 , a �= 1 sind streng monoton auf R.
Definition 1.24
Die Umkehrfunktion zu a x , a ∈ R >0 , a �= 1, wird mit log a x bezeichnet. ( ” Logarithmus
zur Basis a von x“).
Bemerkungen:
1. Spezielle Basen sind ausgezeichnet:
lnx := log e x (Logarithmus naturalis)
1
1
a x
log a x
ld x := log 2 x (Logarithmus dualis, manchmal auch mit lb bezeichnet)
log x := lg x := log 10 x (Manchmal bezeichnet log x allerdings auch log e x)
2. log a x wächst sehr langsam.
3. Für jedes a ist a 0 = 1 ⇒ log a 1 = 0.
Satz 1.25
Für a, b ∈ R >0 , a, b �= 1 gilt:
1. log a(x · y) = log a x + log a y (x, y ∈ R >0 )
2. log a(x y ) = y · log a x (x ∈ R >0 , y ∈ R)
3. log b x = log b a · log a x (x ∈ R >0 ).
Beweis von 3.:
log b x = log b
1.3. Umkehrfunktionen
�
a log a x� 2.
= loga x · log b a
x