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5 Differenzialrechnung 48
5. Differenzialrechnung
5.1. Differenzierbare Funktionen
Bei einer Geraden g(x) = mx + a ergibt sich die Steigung
m als
m =
Beispiel 1:
g(y) − g(x)
.
y − x
Bei g(x) = 1
2x + 1 ist
m =
g(3) − g(1)
3 − 1
=
5 3
2 − 2
2
= 1
2 .
g(y)
g(x)
x y
Was kann man unter der Steigung einer beliebigen ” glatten“ Kurve verstehen?
f(x)
f(x0)
Die Steigung der Tangente! Und wie kann man die berechnen?
Als Grenzwert der Sekantensteigungen: lim
x→x0
x0
x
f(x)−f(x0)
. x−x0
Definition 5.1
Sei f eine Funktion mit Definitionsbereich D und x0 ∈ D.
f heißt differenzierbar in x0
f(x) − f(x0)
:⇔ lim
x→x0 x − x0
x=x0+h f(x0 + h) − f(x0)
= lim
h→0 h
existiert.
In diesem Fall wird der Grenzwert mit f ′ (x0) bezeichnet (Ableitung).
f heißt differenzierbar (in D) :⇔ f ist differenzierbar in jedem x0 ∈ D.
Die Funktion f ′ : D → K, x ↦→ f ′ (x) heißt dann Ableitung von f.
Der Ausdruck f(x)−f(x0)
x−x0
5.1. Differenzierbare Funktionen
heißt Differenzenquotient.