Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen
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Anhang 130<br />
Satz E.2<br />
Durch 3 vorgegebenen Punkte (xk, yk), k = 1, 2, 3, mit x1, x2, x3 verschieden, gibt<br />
es genau eine Parabel.<br />
Beweis:<br />
Der Ansatz für f(x) = ax2 + bx + c führt zu<br />
ax1 2 + bx1 + c = y1<br />
ax2 2 + bx2 + c = y2<br />
ax3 2 ⇔<br />
⎛<br />
x1<br />
⎜<br />
⎝<br />
+ bx3 + c = y3<br />
2 x2<br />
x1 1<br />
2 x2 1<br />
x3 2 ⎞⎛<br />
⎞<br />
a<br />
⎟<br />
⎠⎝<br />
b ⎠ =<br />
x3 1 c<br />
Nun ist<br />
⎛<br />
⎜<br />
det ⎝<br />
x1 2 x1 1<br />
x2 2 x2 1<br />
x3 2 x3 1<br />
⎞<br />
falls x1, x2, x3 verschieden sind.<br />
Bemerkung:<br />
⎟<br />
⎠ = (x1 − x2)(x1 − x3)(x2 − x3) �= 0,<br />
Satz E.2 kann man auf beliebigen Punktanzahl n und Polynome <strong>von</strong> Grad n − 1<br />
verallgemeinern. Die entstehende Determinante<br />
⎛<br />
x<br />
⎜<br />
det ⎜<br />
⎝<br />
n−1<br />
1 x n−2<br />
1 . . . x1 1<br />
x n−1<br />
2 x n−2<br />
⎞<br />
⎟<br />
2 . . . x2 1 ⎟ �<br />
⎟<br />
.<br />
. . .. ⎟ = (xk − xl)<br />
. . ⎠<br />
x n−1<br />
n<br />
x n−2<br />
n . . . xn 1<br />
heißt Vandermond-Determinante.<br />
E. Ergänzungen zu Determinanten<br />
1≤k
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