Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

Anhang 127
Entwicklung nach der 2. Zeile:
⎛ ⎞
2 6 2
� � � �
det⎝
−1 −3 0 ⎠
6 2
2 2
= − (−1) · det + (−3) · det
3 3
0 3
0 3 3
� �
2 6
− 0 · det
0 3
= 1 · 12 − 3 · 6 − 0 = −6.
Allgemein: Berechung duch Entwicklung nach einer Spalte/Zeile:
Summe über die Spalten-/Zeilenelemente mit alternierenden Vorzeichen, multipliziert
mit der Determinante der entsprechend zusammengestrichenen Matrix.
⎛ ⎞
+ − + . . .
⎜ − + − . . . ⎟
Vorzeichenschema: ⎜
⎝ + − + . . . ⎟
⎠
.
. . . ..
Beispiel 3:
Entwicklung nach der zweiten Spalte:
⎛ ⎞
2 0 3 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
det⎜
4 1 0 2 ⎟
4 0 2 2 3 1
⎟
⎝ 0 2 1 5 ⎠ = − 0 · det ⎝ 0 1 5 ⎠ + 1 · det ⎝ 0 1 5 ⎠
5 −1 1 5 −1 1
5 0 −1 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 3 1 2 3 1
− 2 · det ⎝ 4 0 2 ⎠ + 0 · det ⎝ 4 0 2 ⎠
5 −1 1
= 1 ·
0 1 5
� 2 + 75 + 0 − 5 − (−10) + 0 �
− 2 · � 0 + 30 − 4 − 0 + 4 − 12 �
Bemerkungen:
1. Durch die Entwicklungsformel ist klar:
A ∈ Z n×n ⇒ detA ∈ Z
2. Sei A ∈ Z n×n . Wann ist A −1 ∈ Z n×n ?
= 82 − 2 · 18 = 46.
Wegen det A−1 1 = det A und 1. muss dann notwendig detA = 1 sein. Dies
ist auch hinreichend, denn die Elemente von A−1 ergeben sich dann nach der
Cramerschen Regel als ganze Zahlen.
E. Ergänzungen zu Determinanten