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8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 111
Die Determinante kann man auch bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen nutzen:
⎛ ⎞
Sei A ∈ Rn×n , A = ⎝ a1 . . . an ⎠ , ai ∈ Rn . Betrachtet wird das LGS A · x = b.
⇒
⎛
⎜
⎝ a1 a2
⎞
⎟
. . . an ⎟
⎠ ·
⎛
x1
⎜ x2
⎜ x3
⎜
⎝ .
0
1
0
.
0
0
1
. ..
⎞
. . . 0
. . . 0 ⎟
. . . 0 ⎟
. ..
⎟
. ⎠
=
⎛
⎜
⎝
xn 0 . . . 0 1
b a2
⎞
⎟
. . . an ⎟
⎠
⇒ detA · x1 = det � ⇒ x1
�
b a2 . . . an
= det� �
b a2 . . . an
det A
Satz 8.18
Sei A ∈ Rn×n regulär. Die k-te Komponente xk der Lösung zu A · x = b erhält
det Ak
man durch xk = det A , wobei Ak aus A entsteht, in dem die k-te Spalte durch b
ersetzt wird. (Cramersche Regel)
Beispiel 4:
⎛ ⎞
1 0 −3
A = ⎝3
1 0 ⎠ , b =
4 2 4
⎛ ⎞
2
⎝1
⎠
0
Es ist det A = −2 und man erhält
x1 =
� �
�
� 2 0 −3 �
�
�
� 1 1 0 �
�
� 0 2 4 �
=
detA
2
−2 = −1, x2
x3 =
� �
�
� 1 0 2 �
�
�
� 3 1 1 �
�
� 4 2 0 �
=
det A
=
� �
�
� 1 2 −3 �
�
�
� 3 1 0 �
�
� 4 0 4 �
detA
2
= −1.
−2
⎛ ⎞
1 0 −3
⎛ ⎞
−1
⎛ ⎞
2
Also ist ⎝ 3 1 0 ⎠ · ⎝ 4 ⎠ = ⎝1
⎠.
4 2 4 −1 0
Literatur: [Stingl] 5.3; [Dürr] 8.6; [Rie] 12.4; [Pap2] I.2.1, I.2.2, I.2.3
= −8
−2
= 4
Übungen: [Stingl] 5.3, 1,2,3,4,5,6; [Dürr] 8.6, 1,3,4,5,6,7; [RieÜ] 12.6; [PapÜ] I11, I13a)+c), I17, I19,
I22b), I42, I47
8.5. Determinanten