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5 Differenzialrechnung 62
Beispiel 1:
Das 2. Taylorpolynom zu f(x) = 1
x in 2 ist wegen f ′ (x) = − 1
x 2, f ′′ (x) = 2 · 1
x 3
T2(x) = f(2) + f ′ (2)(x − 2) + 1
2 f ′′ (2)(x − 2) 2
= 1
2 +
�
− 1
�
(x − 2) +
4
1 1
· (x − 2)2
2 4
= 1 1 1 1
− x + +
2 4 2 8 (x2 − 4x + 4)
= 3 3 1
− x +
2 4 8 x2 .
Damit gilt tatsächlich:
T2(2) = 3 3 1
− +
2 2 2
= 1
2
= f(2),
T ′ 2(2) = − 3 1
+ 2 · · 2 = −1
4 8 4 = f ′ (2),
T ′′
2 (2) = 1
4 = f ′′ (2).
Für steigendes n erhält man Polynome immer höheren Grades und auf diese Weise quasi
eine Potenzreihe. Man nennt diese Reihe Taylorreihe. In vielen Fällen konvergiert diese
Reihe und stellt die ursprüngliche Funktion dar.
Beispiel 2:
f(x) = e x . Wegen f (n) (x) = e x erhält man als Taylorreihe zu x0 = 0.
e x = 1 + x + 1
2! x2 + 1
3! x3 + . . .
Die Potenzreihen-Darstellung einer Funktion entspricht der Taylorreihe in x0 = 0. Man
nennt diese Reihe auch Maclaurinsche Reihe zu f. Das n-te Taylorpolynom in x0 = 0
entspricht der nach x n abgeschnittenen Potenzreihe.
Wie nahe ist Tn(x) der Funktion f(x)?
Satz 5.13
Sei f : ]a, b[ → R (n + 1)−mal differenzierbar, x0 ∈ ]a, b[ und Tn(x) das n-te
Taylorpolynom zu f in x0. Dann gibt es zu jedem x ∈ ]a, b[ ein ϑ zwischen x0 und
x mit f(x) = Tn(x) + f(n+1) (ϑ) n+1
(x − x0) .
(n + 1)!
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Restglied
5.4. Anwendungen
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